[Citat]
Va rog frumos, am si eu 2 probleme carora nu le dau de cap.
1. Fie X,Y,Z multimea matricelor patratice de ordinul n, unde n apartine {2, 3, 4}, care sunt simetrice, antisimetrice, respectiv diagonale. Sa se demonstreze ca adunarea pe aceste multimi determina o structura de grup abelian(adunarea este comutativa, asociativa, exista un element neutru, iar fiecare element are un opus).
2. Sa se determine matricele A din M2(C)care se pot scrie in mod unic sub forma A=B+C, unde B este matrice simetrica, iar C este matrice antisimetrica.
Multumesc! |
1. Sa incercam impreuna.
Presupun ca la 1 avem de asemenea multimea matricilor nxn cu coeficienti in corpul C ale numerelor complexe. Sa notam aceasta multime cu
M( n, C ) .
Atunci ( M(n,C) , + ) este deja un grup. (Chiar inel (necomutativ).)
Pentru cele cerute ajunge sa aratam ca
- multimea matricilor cu proprietatea ... este nevida, desigur, contine matricea nula,
- pentru orice A,B matrici cu aceeasi proprietatea avem X-Y tot cu aceasta proprietate. (Parte stabila).
Dam de un grup, deoarece axiomele sunt satisfacute pe partea stabila, deoarece ele sunt satisfacute pe intreg M(n,C).
Cum se arata stabilitatea pentru matrici simetrice de exemplu?
2. Ne dam o matrice A.
Prima parte (unicitatea): Daca A se scrie sub forma
A = X + Y cu X simetrica si Y antisimetrica, i.e.
X = X' si
Y = - Y'
atunci dam de
A' = X' + Y' prin aplicarea transpunerii (acel "prim" la mine aici). Deci
A' = X - Y .
Din
X + Y = A si
X - Y = A'
rezulta X = (1/2) (A+A') si Y = (1/2) (A-A') . Deci avem unicitatea. (Mai multe solutii decat una posibila de mai sus nu exista.)
A doua parte: Aratam ca plecand cu un A, cele doua matrici X,Y de mai sus sunt chiar solutii si respectiv simetrice si antisimetrice.
Access general
Conţine mesaje necitite
