Va rog sa ma ajutati si pe mine in calculul urmatoarei integrale:

Integrala din urmatoarea fractie:

la numarator: 3x^2-x+1
la numitor : (x-1)(x+2)^3(x^2+2x+5)^2 ?

Cred ca fractia respectiva se descompune intr-o suma de mai multe fractii dar cum anume?
Mentionez ca am mai intrebat la aceasta rubrica descompunerea in fractiii(am zis eu simple)dar nu am primit inca nici un raspuns
Asta ar veni cam asa: A/(X-1)+B/(X+2)+C/(X+2)^2.....etc dupa care se face integrarea este bine asa? Dar mai departe?
multumesc
Adrian

[Citat] Va rog sa ma ajutati si pe mine in calculul urmatoarei integrale: Integrala din urmatoarea fractie: la numarator: 3x^2-x+1 la numitor : (x-1)(x+2)^3(x^2+2x+5)^2 ? Cred ca fractia respectiva se descompune intr-o suma de mai multe fractii dar cum anume? Mentionez ca am mai intrebat la aceasta rubrica descompunerea in fractiii(am zis eu simple)dar nu am primit inca nici un raspuns Asta ar veni cam asa: A/(X-1)+B/(X+2)+C/(X+2)^2.....etc dupa care se face integrarea este bine asa? Dar mai departe? multumesc Adrian

Din punct de vedere uman, prefer sa fac mai intai substitutia care il duce pe
xx + 2x + 5 = (x+1)^2 + 4
intr-o functie de gradul doi fara termen in grad unu, pe scurt,
notam x+1 = y,
deci x = y-1 .

Facm substitutia si dam de:

Descompunerea in fractii simple a fractiei de mai sus este:

Termenii in care numitorii nu au puteri >1 se obtin usor (dupa inmultire cu numitorul comun) prin inlocuire a lui y cu radacinile 2, -1 si 2i .

Pentru celelalte trebuie sa derivam o data si de doua ori relatia polinomiala obtinuta dupa inmultirea cu numitorul comun. Cel mai bine folosim insa un computer...

De exemplu sage (liber) sau maxima (liber) sau mathematica (de fapt contra $), cu urmatorul site de calcule online:
http://www.wolframalpha.com/
si aici trebuie batut cod mathematica. (Cei ce vor bate de mai multe ori cod mathematica si doresc neaparat mathematica pe propria placa sunt rugati sa cumpere. Cei ce stiu deja ca nu o sa cumpere niciodata, sunt rugati sa considere deja softurile libere de asemenea...)

Alternativ, pe
http://www.wolframalpha.com/examples/Algebra.html
exista o sectiune de calculat descompunerea in fractii simple
(partial fraction decomposition). Pur si sumplu trebuie doar introdusa fractia...

Dintre toti termenii de mai sus, doar cel cu numitorul
(yy+4) la patrat
face poate probleme.
Partea cu y / (yy+4)² se transeaza cu substitutia yy = z.
Partea cu 1 / (yy+4)² se transeaza plecand de la integrala functiei
y' . 1 / (yy+4)
si aplicand integrare prin parti (prin complicarea unei integrale stiute).

Daca mai sunt intrebari, cu incredere!
(Acel [Raspunde] de sus de tot plaseaza postul aici mai departe.)