4. M-am inspirat de la patrickJMT http://www.youtube.com/watch?v=--vh9zgZZmQ
5. Nu prea gasesc la ei (oameni din alte tari...) chestia cu y=mx+b sau asimptote irationale, cum se procedeaza?

[Citat] <ceva necitabil>

Definitia unei asimptote oblice
"g(x) = mx+n"
pentru o functie f
de la un interval real nemarginit superior (ne putem reduce la acest caz)
cu valori in IR
asigura faptul ca diferenta

(f-g)(x)

tinde la zero daca x tinde la infinit (x in domeniul de definitie al lui f).

Daca stim ca f admite o asimptota oblica, pentru a o determina trebuie sa calculam

m = limita( f(x) / x pentru x spre infinit )
n = limita( f(x) - mx pentru x spre infinit )

Atunci cele doua limite de mai sus exista,
din modul cum le-am calculat, (din ultima relatie)

0 = limita( f(x) - (mx+n) pentru x spre infinit )

deci graficele celor doua functii "se apropiu din ce in ce mai tare/rau/periculos" unul de altul. (Pot sa se si taie sau sa chiar coincida, apropierea trebuie inteleasa in sensul limitei de mai sus.)

Daca nu stim ca exista si o cautam, calculam pe rand limitele de mai sus.
Daca prima nu exista, nu avem asimptote oblice.
Daca ea exista trebuie sa ne legam de a doua...

Ce functii admit asimptote oblice (la plus infinit)?
Putem lejer sa scadem din astfel de functii parte liniara "oblica de la infinit" si trebuie sa raspundem la intrebarea mai simplu de vizualizat

Ce functii tind la zero (la plus infinit)?
Multe, desigur, majoritatea nerationale.
Ajunge sa luam o functie rationala ce tinde la zero si sa o inmultim cu sin(x) sau asa ceva pentru a iesi din clasa functiilor rationale. Sau sa luam ceva polinomial sau marginit si sa impartim cu exp( -x ) ...

(Nu m-am uitat pe tub.)

"Daca stim ca f admite o asimptota oblica" - tocmai, cum stim fara a incepe calculul? (sau daca stim... trebuie argumentat, iar aici nu stiu ce sa raspund decat ca daca raportul dintre gradul numaratorului si cel al numitorului este strict >1, atunci functia respectiva prezinta asimptota verticala la +inf, iar in cazul in care este strict =1(in cazul acesta avem asimptota oblica),atunci calculam limita la inf si ce ramane in plus (ce nu se duce spre 0 este desemnata ca ecuatia dreptei fara a mai calcula f(x)/x si f(x)-mx ca si in cazul de mai sus))

"pentru a o determina trebuie sa calculam"

m = limita( f(x) / x pentru x spre infinit )
n = limita( f(x) - mx pentru x spre infinit )"

Puteti sa-mi explicati de ce m = f(x)/x si n = f(x)-mx ? de unde sunt scoase?


"Ce functii admit asimptote oblice (la plus infinit)?"

Toate care au gradul 1? sau raportul dinter fractii da 1?

"Ce functii tind la zero (la plus infinit)?"
hmm, cele care au gradul numitorului mai mare :D

[Citat] "Daca stim ca f admite o asimptota oblica" - tocmai, cum stim fara a incepe calculul? (sau daca stim... trebuie argumentat, iar aici nu stiu ce sa raspund decat ca daca raportul dintre...

Incerc atunci sa fac ordine in prezentare.
Propun sa intelegem lucrurile asa cum le inteleg eu (macar pentru inceput), in orice caz, facem ce facem si obtinem ceva, fara a ne intreba in timp ce facem de ce facem ce facem.

Dupa ce facem ceva si avem un rezultat incercam sa vedem daca ne ajunge ce avem.

Modul de lucru este urmatorul:

(0) Definim o asiptota oblica. (Incercam sa intelegem definitia.)
DEFINITIE:
f admite asimptota oblica mx+n la +oo daca si numai daca limita

(*) limita ( f(x) -mx-n pentru x care tinde la +oo ) exista si este ZERO.

(1) Daca stim ca f are asimptotica x -> mx+n, atunci scriem cate o formula pentru m si n, care rezulta de la definitie. Formulele sunt cele de mai sus.
Formula pentru n rezulta din definitie. (Adunam n in ambele parti in (*).)
Formula pentru m rezulta din definitie de asemenea, deoarece daca
f(x) - mx -n
tinde la zero, atunci si
( f(x) - mx -n ) / x
tinde la zero (pentru x spre +oo)


(2) Dupa ce avem formulele pentru m,n si o functie care are sau nu asimptote, nu stim inca, incercam sa asociem mai intai m, apoi n, dupa formulele mot-a-mot de la (1).

Daca limita ce il defineste pe m nu exista (sau exista si este infinita), f nu are asimptote oblice, altfel ar avea, am fi in cazul (1), am da de o limita care exista, de o contradictie. Sa zicem ca aceasta limita exista.

Daca limita ce il defineste pe m nu exista (sau exista si este infinita), f nu are asimptote oblice, altfel ar avea, am fi in cazul (1), am da de o limita care exista, de o contradictie. Sa zicem ca aceasta limita exista. Atunci ne uitam la definitia asimptotei oblice si la relatia care il definieste pe n.

------------------------------------------------
In bacalaureat, daca ni se da o functie si ni se cere sa ii calculam asimptotele, daca exista, asociem limita "pentru m", incercam sa vedem daca exista. Daca da, e bine, putem continua, daca nu este si mai bine, functia data nu are asimptote oblice. Sa zicem ca este doar bine. Atunci asociem si limita "pentru n" si asa mai departe.

------------------------------------------------
In afara de functiile rationale mai exista nenumarate functii cu asimptote oblice la infinit. Exemple de tot felul de functii (rationale sau nu):

f(x) = x^3 / ( x^2 - 1 ) :: m este 1, repede calculat, n este 0 .

f(x) = x^3 / ( x^2 + x + 1 ) :: putem aplica formulele sau aduna si scadea fortat 1 in numarator. atunci ( x^3 - 1 ) / ( x^2 + x + 1 ) este (x-1) iar restul tinde la zero. Multe exercitii sunt facute dupa acest calapod.

f(x) = x + 1 + ln(x)/x :: cand incercam sa cautam asimptote oblice si vedem deja o functie liniara / afina ca sumand in definitia lui f, o dam la o parte si ne legam de restul. Deoarece ln(x) / x tinde la zero pentru x spre infinit, vedem ca f are asimptotica (x+1).

f(x) = radical( x? + 1 ) / x :: functia nu este rationala. Dar
m = lim( f(x) / x ) = lim( radical( (x?+1)/x? ) ) este desigur 1.
Diferenta f(x)-x are un numarator diferenta de radicali, inmultim cu "conjugata", suma corespunzatoare de radicali si calculam limita.

f(x) = exp(x) nu are asimptota oblica la infinit. (Cresterea este exponentiala)

f(x) = x + radical(x) : nu are asimptota (oblica) la +oo. De fapt daca dam partea liniara la o parte ajunge sa intelegem mai intai ca

f(x) = radical(x) : nu are asimptota (oblica) la +oo.

f(x) = x exp(-x) : are asimptota oblica (si orizontala) 0 .