1.aratati ca urmatoarele numere nu sunt rationale:
1) radical din 3
2)radical din 5
3) radical din 7
4) 1+ radical din 2
5) radical din 2 + radical din 3




2.Detereminati multimile A,B,daca verifica simultan conditiile:


A U B ={1,2,3,4,5}, A intersectat B={1,2,3},A-B={4}

[Citat] A. Aratati ca urmatoarele numere nu sunt rationale: (1) radical din 3 (2) radical din 5 (3) radical din 7 (4) 1+ radical din 2 (5) radical din 2 + radical din 3

(1) Presupunem prin absurd ca radical din 3 este un numar rational (pozitiv).
Il scriem atunci sub forma de fractie *ireductibila*

radical(3) = a/b,

unde a,b sunt numere naturale nenule.
(Incercam sa dam de o contradictie.)
Ridicam la patrat si inmultim cu numitorul bb (adica b patrat) pentru a obtine:

3 bb = aa .

3 este un numar prim care divide produsul a.a,
deci divide pe cel putin unul din factori,
deci 3 divide a.

Scriem atunci a = 3a' cu a' natural nenul si dam de

3 bb = 3a' 3a' .

Simplificam si dam de

bb = 3 a'a' .

Deci 3-ul din membrul drept divide produsul b.b, deci pe cel putin unul din factori, deci 3 divide b.

Am ajuns la concluzia ca 3 divide atat a, cat si b,
deci fractia ireductibila a/b cu care am plecat este de fapt reductibila.
Contradictie.

Presupunerea (prin absurd) facuta este deci falsa.
Deci radical(3) este un numar irational.

(2) Se copiaza cele de mai sus si peste tot unde am scris acel 3 (numar prim) scriem de data asta 5 (numar prim).

(3) Se copiaza cele de la (1) si peste tot unde am scris acel 3 (numar prim) scriem de data asta 7 (numar prim).

(4) Presupunem prin absurd ca 1 + radical(2) este numar rational.
Atunci scazand 1 din el dam tot de un numar rational.
Deci radical(2) este numar rational.
Contradictie cu cele aratate la (1).

Presupunerea (prin absurd) facuta este deci falsa.
Deci 1 + radical(2) este un numar irational.

(5) Presupunem prin absurd ca
radical(2) + radical(3)
este un numar rational.

Il inmultim cu el insusi si obtinem tot un numar rational.
(Produsul a doua numere rationale este rational.)
Deci
2 + 2radical(6) +3
(care este patratul numarului cu care avem de furca)
este un numar rational.

Scadem 5 si impartim la doi pentru a da de un nou numar rational,
radical(6) .

De aici putem proceda ca la (1) dar avand grija sa ne legam de divizibilitatea cu un numar prim, de exemplu cu 2 sau 3 intr-o relatie de forma 2.3.b.b = a.a .
(Nu cumva cu 6, care nu este numar prim.)
Obtinem repede o contradictie.
Presupunerea (prin absurd) facuta este deci falsa.
Deci radical(2) + radical(3) este un numar irational.

[Citat] B. Determinati multimile A,B, stiind ca verifica simultan conditiile: A U B = { 1,2,3,4,5 }, A intersectat B = { 1,2,3 }, A-B = {4}

Din prima conditie rezulta ca avem de plasat numai elementele 1,2,3,4,5 in (cel putin una dintre) multimile A si B.

1 se afla in intersectie, deci se afla si in A, si in B.
2 se afla in intersectie, deci se afla si in A, si in B.
3 se afla in intersectie, deci se afla si in A, si in B.
4 se afla in diferenta A-B, deci se afla in A, dar nu se afla in B.

Ce facem cu 5-ul? El nu se afla in ambele multimi A,B. Intr-una din ele trebuie sa se afle, altfel nu intra in reuniune. Raman doua cazuri:
5 se afla in A, dar nu se afla in B. Nu e bine, atunci am avea 5 in diferenta A-B, dar 5 nu e acolo. (Doar 4...) Contradictie
5 se nu afla in A, dar se afla in B.
Doar al doilea caz este posibil, orice altceva am exclus deja. deci:

A = { 1,2,3,4 }
B = { 1,2,3,5 }

Se verifica cele date?