a)Descompuneti in factori ireductibil polinomul

in inelul

.
b)Descompuneti in factori ireductibili polinomul

in inelul

, unde p e prim si

.

Rescriu, cu mici schimbari. (Enuntul de la (b) este schimbat... termenul liber este de data asta chiar liber, nu polinom.)

[Citat]

Nu am mai pus caciuli, deoarece am trecut deja de nivelul elevilor ce nu stiu in ce inel lucreaza, in definitiv, manualul de a XII defineste un corp ca fiind ceva cu "zero si unu" si cu mai multe alte lucruri, deodata nu mai e nevoie subit de ceva cu "zero caciula si unu caciula". Este natural sa scriem 1+1 = 2 in acest corp, nu e nevoie sa scriem doi caciula...

La lucru acum. Mai intai dau voce calculatorului, il pun sa factorizeze polinomul de la (a) si cateva polinoame la (b) pentru p=11.
Iata ce obtin.

Cod:
sage: F = IntegerModRing(5)
sage: R.<X> = PolynomialRing(F)
sage: F
Ring of integers modulo 5
sage: R
Univariate Polynomial Ring in X over Ring of integers modulo 5
sage: factor( X^3 + 2 )
(X + 3) * (X^2 + 2*X + 4)

A doua paranteza nu se mai poate factoriza, nu mai avem radacini ale ei in corpul IF(5).
Asta a fost (a).


sage: for k in [ 1..10 ]: f = X^11 + k; print( "%s = %s" % ( f, factor(f) ) )
....:
X^11 + 1 = (X + 1)^11
X^11 + 2 = (X + 2)^11
X^11 + 3 = (X + 3)^11
X^11 + 4 = (X + 4)^11
X^11 + 5 = (X + 5)^11
X^11 + 6 = (X + 6)^11
X^11 + 7 = (X + 7)^11
X^11 + 8 = (X + 8)^11
X^11 + 9 = (X + 9)^11
X^11 + 10 = (X + 10)^11

Asta a fost (b). (Cred ca devine clar de ce...)


Oamenii ma mai intreaba la ce e bun un "sistem algebric computerizat" cum este sage (liber) sau Maple, Mathematica ($)...