Banuiesc ca problema este urmatoarea (o scriu pe cea in care radicalul merge suficient de departe in relatia de definitie, altfel dam de sirul
( n?2 )
care nu este marginit...)
(a)
Deoarece functia f de la I = [ 0 , 2 ] cu valori tot in I data de
f(x) = radical( 2+x )
este
- bine definita si
- strict crescatoare, rezulta (din aceasta monotonie)
inductiv ca sirul dat este strict crescator
si ca ia valori in I.
Ajunge pentru monotonie sa vedem ca primii doi termeni ai sirului stau in ordinea in care stau si sa aplicam f pe aceasta inegalitate.
Pentru marginire (apartenenta la I) ajunge sa vedem ca primul termen e in acest interval, apoi inductiv...
(b)
Nu inteleg in ce sens trebuie sa determinam termenul general al sirului.
Daca trebuie sa determinam cumva limita sirului, asa ceva este simplu,
ea exista, deoarece din (a) avem de-a face cu un sir monoton marginit.
O notam cu L.
Trecem la limita in relatia de recurenta de definitie a sirului,
a(n+1) = f( a(n) )
si dam de ecuatia
L = f(L)
in necunoscuta L. De aici destul de repede L=2 .
Daca trebuie sa cautam "o alta formula", atunci aceasta formula este