Va rog sa ma ajutati cu calculul acestor sume pentru ca din toate incercarile mele nu a rezultat nimic!
1)Sn=1/2+3/(2^2)+5/2^3)+...+(2n-1)/(2^n)
2)Sn=a1/b1+a2/b2+a3+b3+...+an/bn, unde (an) este in progresie aritmetica, iar (bn) este in progresie geometrica.

Am reformulat usor...

[Citat] Va rog sa ma ajutati cu calculul acestor sume pentru ca din toate incercarile mele nu a rezultat nimic! unde $(a_n)$ este in progresie aritmetica si $(c_n)$ este in progresie geometrica.

Trec direct la (2).
Fara a restrange prea mult generalitatea, ne putem reduce repede la cazul in care avem:

an = n si plecam cu n=0

si

cn = q^n si plecam cu n=0.

Iata cum facem acest lucru in exemplul din primul caz.
In primul rand spargem suma data in doua:

In spargerea de mai sus, prima suma nu face probleme, deoarece stim sa calculam

1 + q + ... + q^(n-1) = (1-q^n)/(1-q) .

Trebuie sa ne legam doar de cea de-a doua scriere deci.
Exista o formula pentru suma

0 + q + 2q^2 + ... + nq^n

pe care, pentru a o avea mereu la indemana este bine sa gandim cam asa.
Il dam pe q factor comun, ramane sa intelegem formula pentru

1 + 2q + 3q^2 + ... + nq^(n-1) .

Acum este bine sa stim ca cele de mai sus reprezinta derivata formala (dupa q) a sumei (a polinomului de variabila q)

(1 + ) q + q^2 + q^3 + ... + q^n

si pentru cele de mai sus avem o formula, mai trebuie sa stim sa derivam si in formula explicita...


Si acum la problema:
Daca stim formulele (explicite, "inchise", compacte") pentru sume nu mai avem nici un fel de probleme. Acestea le cer calculatorului, de exemplu, pentru ca mi-e greu sa tiparesc cu mana...

sage: var( 'n,k' );
sage: sum( (2*k-1) / 2^k , k, 1, n )
(3*2^n - 2*n - 3)/2^n
sage:
sage: var( 'a,r,q' );
sage: sum( (a+k*r) * q^k , k, 1, n )
-(a*q^2 - ((n*q^2 - (n + 1)*q)*q^n + q)*r - (a*q^2 - a*q)*q^n - a*q)/(q^2 - 2*q + 1)
sage:
sage: latex( sum( (2*k-1) / 2^k , k, 1, n ) )
\frac{{\left(3 \, 2^{n} - 2 \, n - 3\right)}}{2^{n}}
sage: latex( sum( (a+k*r) * q^k , k, 1, n ) )
-\frac{{\left(a q^{2} - {\left({\left(n q^{2} - {\left(n + 1\right)} q\right)} q^{n} + q\right)} r - {\left(a q^{2} - a q\right)} q^{n} - a q\right)}}{{\left(q^{2} - 2 \, q + 1\right)}}

Dam de

Intelegerea deducerii formulei este parte de matematica, de fapt, doar principiul, idea de cautare conteaza, demonstrarea penibila (prin inductie) este doar un exercitiu nedidactic de inductie matematica.

[Citat] Il dam pe q factor comun, ramane sa intelegem formula pentru 1 + 2q + 3q^2 + ... + nq^(n-1) . Acum este bine sa stim ca cele de mai sus reprezinta derivata formala (dupa q) a sumei (a polinomului de variabila q) (1 + ) q + q^2 + q^3 + ... + q^n si pentru cele de mai sus avem o formula, mai trebuie sa stim sa derivam si in formula explicita...

Imi puteti spune,va rog, ce rol are derivata aici (adica, cum am ajunge la formula daca stim care este expresia care derivata este chiar ce avem de calculat)?

[Citat] [Citat] Il dam pe q factor comun, ramane sa intelegem formula pentru 1 + 2q + 3q^2 + ... + nq^(n-1) . Acum este bine sa stim ca cele de mai sus reprezinta derivata formala (dupa q) a sumei (a polinomului de variabila q) (1 + ) q + q^2 + q^3 + ... + q^n si pentru cele de mai sus avem o formula, mai trebuie sa stim sa derivam si in formula explicita... Imi puteti spune,va rog, ce rol are derivata aici (adica, cum am ajunge la formula daca stim care este expresia care derivata este chiar ce avem de calculat)?

Desigur! Multumesc pentru intrebare, in astfel de cazuri matematica ne arata ca lucruri aparent nelegate sunt deseori utile, vederea de ansamblu nu este aici chiar asa de importanta, ceea ce conteaza este combinarea cunostintelor, in matematica avem aceasta libertate!

Trec la LaTeX, deoarece lucrul este important!

(La nivel de a X-a nu avem insa aceasta sansa. Din pacate, la nivel de a XI-a avem altfel de probleme cu viata si cu matematica, asa ca o legatura/comparatie intre solutii nu poate fi stabilita. Paradigmatic putem sa ne punem intrebarea didactica: "Care metoda este mai usoara (in cazul de fata)?" Raspunsurile diferite de la cancelarie la cancelarie arata ca didactica este in primul rand o chestiune de gust a celor ce discuta despre ea, in al doilea rand una de interes a fachirilor ce trebuie sa o suporte.)

Tema de casa: CUM se calculeaza suma de mai sus. Nu vreau raspunsul exact ca fractie complicata cu numitorul (??), ci vreau pasii de fapt.
Cel ce poate descrie in cuvinte proprii acesti pasi, a facut tema!
Eu vreau cel mult numitorul si gradul din numarator pentru acest numitor. (Bonus: Coeficientul liber din numarator. Zero sau unu?)