Sa se demonstreze ca pentru oricare a,b,c reale pozitive au loc inegalitatie:
a)a^3+b^3?3ab
b)1/(a^2)+1/(b^2)?8/[(a+b)^2]
c)a/(b^3)+b/(a^3)?8/[(a+b)^2]

prima nu este adev.verificati pentru a=b=0,1
avem 0,001+0,001=0,002
3*0,1*0,1=0,03 si 0,002<0,03
sau a=b=1 2<3

A doua este echiv cu

.
Cum

si

rezulta cerinta

A treia este echiv cu

si cum

si

rezulta imediat cerinta.

Prima inegalitate probabil ca este

Ea se demonstreaza cel mai usor prin inegalitatea dintre media aritmetica si cea geometrica. Pentru a vedea aceeasi inegalitate in cazul (ceva) mai general in care luam doar (a+b+c)>0 ca singura restrictie observam ca se poate factoriza polinomul diferenta a celor doi membrii...