Fie a,b,c intregi a.i.

.
a) Aratati ca:

b)Deduceti ca:

Punctul a) este evident, dar l-am scris deoarece presupun ca are legatura cu b).
Edit: Cred ca stiu alta versiune de LaTeX... altfel nu imi explic de ce nu merge...

[Citat] Punctul (a) este evident, dar l-am scris deoarece presupun ca are legatura cu (b). Edit: Cred ca stiu alta versiune de LaTeX... altfel nu imi explic de ce nu merge...

Nu mergea, deoarece orice "left" trebuie inchis cu un "right".

(a) este usor, deoarece inmultim relatia data cu...

(b) este la fel de usor, deoarece sistemul omogen asociat matricii de sub determinant are o solutie netriviala. Este cea de la (a).

Multumesc! Am inteles si cu LaTeX-ul si cu matricea! :D

Ca tot veni vorba de LaTeX, stie cineva vreun program in care sa scriu in limbaj LaTeX si sa-mi afiseze practic ce scriu? (Ca la acest site...scriu mesajul (si codul ecuatiilor (in limbaj LaTeX) intre [eq...]$$[/eq...]) si imi afiseaza ecuatia)? Va multumesc!

[Citat] Ca tot veni vorba de LaTeX, stie cineva vreun program in care sa scriu in limbaj LaTeX si sa-mi afiseze practic ce scriu?

Depinde la ce vre?i s? îl folosi?i. Pute?i încerca Winshell, Winedt, sau Scientific Word.
Revenind la problem?
Bonus: rezult?

Multumesc!

Imi puteti arata, va rog, cum se demonstreaza ca a=b=c=0?
(mi-a iesit atunci cand am pus problema,dar nu mai stiu cum)

[Citat] mi-a iesit atunci cand am pus problema,dar nu mai stiu cum

Asta e cam ciudat


Indica?ie:

[Citat] Asta e cam ciudat

Credeti-ma, la mine totul e posibil! :D
Multumesc pt rezolvare! (inceput de rezolvare)...de acum stiu sa o duc singur (metoda coborarii infinite a lui Fermat)

Solutie alternativa ( - o idee care merita stiuta.. -):

acel D = (radical de ordinul 3 din 2) este deci radacina a polinoamelor din Q[X]:

a + bx + c xx
si
2c + ax + b xx

Luam impartirea cu rest a unuia la celalalt (peste Q = corpul numerelor rationale). Inmultim de exemplu al doilea polinom cu -c/b si adunam.

Daca restul este nul, stim ceva despre a si ne descurcam intr-un mod...

Daca nu, atunci dam de un polinom de grad unu care are radacina D. Ceve de forma sD + t = 0. (Deci D este numar rational...) Ne descurcam mai departe ca si in demonstratia (prin descindere infinita) faptului ca radical (simplu) din doi este irational.

--------------------------------------------------------------

Solutia de si mai sus este cea ce mimeaza teoria divizibilitatii din inelul ZZ[D] .
Ca sa fie cat de cat clar despre ce este vorba, este bine sa se stie ca exista o "norma" care trimite numarul

a + bD + c DD

in norma lui

N( a + bD + c DD )
=
( a + b D + c DD )
( a + beD + cee DD )
( a + beeD + ce DD ) ,

unde 1,e,ee sunt cele trei radacini diferite de ordinul 3 ale unitatii.
Mai sus, a,b,c sunt din ZZ si D este sa zicem radacina de ordinul 3 a unui numar intreg, astfel incat D sa nu fie in ZZ.
(Scrierea a + bD + c DD este unica, exact asta vrea problema de la noi...)
(e se poate scrie mai explicit, dar rog a nu se face asa ceva, cel mai bine este daca folosim doar eee=1 si/sau ee-e+1=0 si ne gandim ca e este "una din radacini" fara a preciza care...)

(1) Este N multiplicativa?
(Adica N( xy ) = N(x) N(y) pentru orice x,y in ZZ[D] . Galois stia asa ceva...)

(2) Unde ia valori N?

(3) "Daca a + bD + c DD se divide cu (idealul generat de) D in ZZ[D],
atunci N(a + bD + c DD ) se divide cu N(D) = (D)(eD)(eeD) = DDD = 2 la noi in ZZ". Asta este idea de demonstrare reliefata mai sus. Este o prima simpla instanta a teoriei algebrice a numerelor (in corpuri de numere).

(4) Facultativ, clasa a XII-a sau facultate mai degraba.
Ne putem uita la
V = Q[D] = { a + bD + c DD | a,b,c in Q }
ca la un spatiu vectorial peste Q cu baza 1,D,DD .

Care este matricea inmultirii cu
x = a + bD + cDD,
vazand aceasta aplicatie de la V la V fata de baza mentionata?

(Pentru cei de a XII-a:

Luam 1, primul element din baza, il inmultim cu x, scriem obtinut elementul fata de baza, ii luam componentele, le inseram intr-o matrice pe prima... din matrice.

Luam D, al doilea element din baza, il inmultim cu x, scriem elementul obtinut fata de baza, ii luam componentele, le inseram intr-o matrice pe a doua... din matrice.

Luam D, al treilea element din baza, il inmultim cu x, scriem elementul obtinut fata de baza, ii luam componentele, le inseram intr-o matrice pe a treia... din matrice.

Care este matricea, care este determinantul ei?)

[url](http://en.wikipedia.org/wiki/Eisenstein's criterion)