as avea nevoie de o sugestie de rezolvare pentru urmatoarele 2 probleme
1.Se considera numerele e(n)=1+1/1!+1/2!+...+1/n!,n apartine N,n>=2.Demonstrati ca niciunul dintre aceste numere nu este intreg.
2.Fie a un numar real,astfel incat a^7 si a^10 apartin multimii Q.Aratati ca a^n apartine Q pentru orice n natural diferit de 0

2.

.

1. Aducand la acelasi numitor, obtinem o fractie cu numitorul n! si numaratorul o suma de fractii de forma

pentru k=1,n. Din postualul lui Bertrand (sau teorema Bertrand-Cebasev)avem ca intre n/2 si n exista cel putin un numar prim p. Acesta se afla o singura data in n!, deci printre k=1,2,...,n (sau k=1,n) p se afla o singura data (in sensul ca niciun alt numar nu e divizibil cu p in afara de p), deci,

pentru toti

si

, deci numaratorul nu va fi divizibil cu p, dar numitorul este, ceea ce conduce la faptul ca e(n) nu este intreg.

multumesc pentru rezolvari

1. Mai sus avem demonstratia pentru faptul ca e(n) nu este numar rational, ea foloseste cateva lucruri mai putin triviale. Daca trebuie sa aratam ca nu dam nicicand de un numar intreg, n>1, ajunge sa vedem ca e(2) nu este intreg, sa mai calculam cativa termeni e(n) pana scapam de 2, fara a lua valoarea 2,
si sa stim ca sirul dat converge la e < 3 .