Sa se rezolve sistemele:
a) { x * radical din yx =4
y * radical din xz =9
z * radical din xy =16

b) x(x+y+z)=20
y(x+y+z)=30
z(x+y+z)=50

c) x+y-z=7
x^2 + y^2 - z^2=37
x^3 + y^3 - z^3=1

Nu am nici o idee.

[Citat] Sa se rezolve sistemele: a) { x * radical din ( yx ) = 4 { y * radical din ( xz ) = 9 { z * radical din ( xy ) = 16 b) x(x+y+z) = 20 y(x+y+z) = 30 z(x+y+z) = 50 c) x + y - z = 7 x^2 + y^2 - z^2 = 37 x^3 + y^3 - z^3 = 1 Nu am nici o idee.

(a) Am marcat cu rosu o litera care strica simetria... Enuntul este chiar cel postat sau este cel in care avem x * radical(yz) in prima linie?

Daca enuntul este cel simetric, inmultim cele trei ecuatii...
Dam de xyz. Daca nu stim ce sa facem mai departe, rezolvam intai (b)-ul si revenim.

(b) Adunam cele trei ecuatii si dam de o ecuatie in (x+y+z) (ridicat la patrat),
de aici deducem ca x+y+z este fie 10, fie -10. De aici dam de doua cazuri. Ne uitam la fiecare ecuatie si deja avem necunoscutele in mana.

(c) Deoarece sistemul este simetric in x,y,
este bine sa introducem variabilele noi s "suma" si p "produs" date de
s = x+y
p = xy
astfel incat dam de un sistem echivalent cu o mica economie de ridicari la putere, in cele trei variabile noi s,p,z...

s - z = 7
ss - 2p - zz = 37
s ( ss - 3p ) - zzz = 1 .

Il luam pe z din prima ecuatie si il inlocuim/substituim in ultima, dam astfel de un sistem cu legatura pe care nu o uitam z = s-7 si cu celelalte doua ecuatii

ss - 2p - (ss -14s + 49) = 37 si
sss - 3ps - (sss -21ss +147s -343) = 1

Mai reducem din litere:

-p + 7s = 86/2 si
-ps +7ss - 49s = - 114 .

Din prima ecuatie il putem scoate pe p si sa il introducem in a doua.
De fapt, este mai usor optic sa urmarim calculele daca facem "acelasi lucru" altfel, anume prin inmultirea primei ecuatii cu s, apoi scadem ...

Dam de
-43s +49s = 114 .
(si nu uitam de legaturi...)

De aici s = 114/6 = 19, deci p = 7s-43 = 90 si z = s-7 = 12 .

Dam de solutiile
(x,y,z) = (9,10,12) si
(x,y,z) = (10,9,12) .

Verificare cu calculatorul:
? for( k=1,3, print( "k=",k, " :: 9^k + 10^k - 12^k = ", 9^k + 10^k - 12^k ) )
k=1 :: 9^k + 10^k - 12^k = 7
k=2 :: 9^k + 10^k - 12^k = 37
k=3 :: 9^k + 10^k - 12^k = 1