Fie B subgrup normal in A, K subgrup normal al lui H si B diferit de K.
In ce conditii grupul factor A/B este inclus in H/K?

[Citat] Fie B subgrup normal in A, K subgrup normal al lui H si B diferit de K. In ce conditii grupul factor A/B este inclus in H/K?

Cum stau grupurile A,B,H,K unele fata de altele?
Banuiesc ca B,H,K sunt toate subgruprui normale ale lui A, in plus ele intra in diagrama de *incluziuni*:

Sagetile verticale nu le pot decora aici incat sa se vada ca avem de-a face cu incluziuni...

In acest caz, ne asteptam de exemplu in cazul comutativ cel mai optimist la ceva de forma:

Asa ceva am avea daca diagrama patrata de plecare este un "pull back". (K este atunci intersectia lui H cu B in A, in cuvinte normale.)
Dar nu intotdeauna avem sansa sa avem asa ceva... Ajunge sa ne gandim la cazul in care avem spatii vectoriale si in care avem notiunea de dimensiune si plasam dimensiunile in patrat in urmatoarele moduri... (Cazuri particulare care ilustreaza suficient de bine cu un invariant simplu, dimensiunea, unde avem probleme cu "marimea").

Daca la inceput dimensiunile stau asa...
46
89,
atunci dupa extinderea prin aplicarea functorului "cat" pe linii dam de
46(6-4)
89(9-8),
avem o sageata verticala intre spatiile de dimensiune (6-4) si (9-8), care din motive de dimensiune nu poate fi injectiva...

Sa trecem acum la problema initiala...

Enunt:
Se da diagrama comutativa cu sagetile incluziuni intre grupuri, incluziunile sunt de la un subgrup normal la grup:

Functorial putem extinde unic la...

Sageata verticala din dreapta este bine definita.
Ea duce clasa [hK] din H/K in clasa [hB] din A/B.

Problema ne intreaba, in ce cazuri dam de o sageata injectiva.
Acest lucru se intampla daca si numai daca,
.. pentru orice h din H
.... daca cumva [hK] se duce in unitatea [1B] a lui A/B,
...... atunci [hK] este deja unitatea [1K] a lui H/K.

In ce cazuri se duce [hK] in [1B] ? Daca si numai daca h e in B.
In ce cazuri este [hK] egal cu [1K] ? Daca si numai daca h e in K.

Rescriem:
sageata verticala ... este injectiva daca si numai daca,
.. pentru orice h din H
.... daca h este in B,
...... atunci este in K .

Simplu: H intersectat cu B este inclus in K.
Deoarece avem si incluziunile pe partea cealalta, avem echivalenta cu

K = ( H intersectat cu B ) .

Este exact aceasta situatie de "pull back", care ne permite sa facem "diagrama 3x3"
cu un mini-patrat 2x2 (de la care am plecat) format din incluziuni,
cu un mini-patrat 2x2 diagonal plasat (cu varful acel ? de mai sus) format din surjectii.

Scrierea acelui ? drept cat de pe cele doua siruri scurte exacte
ce dau in el
(ce nu se lipesc cu patratul initial)
este un izomorfism cunoscut (in cazul in care putem etabla diagrama)...
(Noether)

Multumesc!