Va rog sa ma ajutati sa aflu perioada unei functii:
x(t)=2*cos(200*pi*t)+sin(400*pi*t), unde timpul este exprimat in secunde.
Variante:
a)5ms b)10ms c)50ms d)100ms e)0,5s f)1s

Pornind de la definitia unei functii periodice x(t) = x(t+T), daca calculez
x(t+T)= 2*cos(200*pi*t+T)+sin(400*pi*t+T) = 2cos(200*pi*t)cos(T) - 2sin(200*pi*t)sint(T) + sin(200*pi*t)cos(T) + sin(T)cos(200*pi*t)

cum asociez termenii din x(t) cu cei din x(t+T) ??

Multumesc!

Strict vorbind, acele valori 200 si 400 din paranteze trebuie fizic sa vina si ele cu o unitate de masura, astfel incat sin si cos sa fie aplicate pe ceva adimensional (fara dimensiune, numar gol).

Deoarece timpul t se masoara in secunde (ajustate),
unitatea de masura pentru 200 (de exemplu) este 1/s (unu pe secunda, secunda la minus unu, care este unitatea de masura pentru "frecventa").

Acestea fiind spuse, reformulez problema de asa natura incat sa nu mai avem probleme cu unitatile de masura.

[Citat]

Inainte sa rezolvam complet problema, sa incercam ca la avocati si la detectivi: cu indicii.

Calculam repede x(0) = 2 cos(0) + sin(0) = 2+0 = 2 .
Care este valoarea x(T) pentru fiecare T din cele de mai sus?

Care este perioada functiei sin?
Care este perioada functiei cos?

Dupa ce clarificam aceste lucruri, totul va fi usor, garantez...
(Sa discutam asadar pana la sfarsit!)

Bun!

Multumesc pentru indicatii; sa trecem la rezolvare.
Perioada functiilor

.

Calculam

pentru fiecare T de mai sus:

In cazurile b),c),d),e) si f)

.
Ce rezulta de aici? Cred ca gresesc undeva...

O mica nuanta doar, nu este o corectura, este doar accentul pe ceea ce ne trebuie.

Perioada PRINCIPALA a functiilor

. (Este perioada in primul rand, nici o frantura intreaga din aceasta perioada nu mai este perioada. Este si cea mai mica (in sensul unui infimum pentru cei ce stiu exemple ciudate) perioada >0. Asa ceva se numeste perioada PRINCIPALA.)

..................

Nu e nici o greseala in sirul de calcule.

Din cele de mai sus excludem in orice caz raspunsul (a) deoarece
x(0) nu este x(T) pentru T = 1/200. Acest lucru este important!

Apoi e bine sa avem in vedere ca daca P este (o) perioada a unei functii de la IR la IR, atunci 2P, 3P, 4P, ... , deci orice multiplu natural de P este de asemenea perioada. De aceea problema trebuie sa ceara "perioada principala" nu "perioada" (care se termina cu A de la Adam). Sau "o perioada", (cuvant care se termina cu ~A de la ~AL~ALALT,) deoarece sunt "mai multe..."

Vedem mai departe ca de la (b) pana la (f) tot luam multiplii intregi de perioada candidat oferita.

Deci daca T=1/100 de la (b) este o perioada, toate celelalte sunt de asemenea perioade. Putem banui ca acest T este perioada principala, deoarece alte raspunsuri posibile nu ni s-au dat. (Psihologie, nu matematica.)

Daca perioada de la (b) nu este, dar cea de la (c), atunci toate ce vin sunt de asemenea periode. Banuim atunci...

Si asa mai departe.

Sa aratam mai intai ca acel T = 1/100 de la (b) este perioada.
De la definitie!

Ne dam un t arbitrar si incercam sa punem in legatura (de egalitate)
x(t+T) si x(t).

Avem
x(t+T)

= x(t+1/100)

= "ceva cu cos( 200 pi t + 2 pi ) si cu sin( 400 pi t + 4 pi )"

= "ceva cu cos( 200 pi t ) si cu sin( 400 pi t )"
la acest punct folosind perioada (principala) 2 pi

= x(t)

Din cele de mai sus, deja putem trage psihologic concluzia ca (b) este raspunsul pentru perioada principala.

Daca facem mai departe matematica, inca mai avem de lucru, trebuie sa demonstram ca nu exista o "perioada mai mica". (De exemplu T / 127123.)
Cel mai simplu este sa facem graficul functiei date pe perioada (ca interval)
[ 0, T )
si sa vedem anumite "caracteristici" ale functiei si modul in care acestea "se repeta". De exemplu: unde este functia data =0 ?

Destul de repede ne vine ideea sa reducem printr-o substitutie functia data la una "mai normala", anume pe o perioada naturala a functiilor sin si cos.

Introducem de aceea functia y : IR -> IR data de
y(u) = 2 cos(u) + sin( 2u ) , u real.
Este o "rescalare" a functiei date,
e ca si cand facem substitutia u = 200 pi t .

Unde se anuleaza aceasta functie pe intervalul [ 0, 2pi ) ?
Unde are aceasta functie pe intervalul [ 0, 2pi ) maximul ?
Unde are aceasta functie pe intervalul [ 0, 2pi ) minimul ?

Avem y(u) = 2 cos (u) + 2 sin(u) cos(u) = 2 cos(u) ( 1 + sin(u) ) .
Zerourile pot fi gasite rapid explicit. Ele corespund atunci imaginii:

Deoarece primul zerou din pi/2 este simplu (panta este strict negativa) si al doilea in 3 pi/2 dublu, ambii factori cos(u) si (1+sin(u)) anulandu-se aici, deci panta este nula, nu avem nici o repetarea a "acestei caracteristici", deci nu avem o perioada "mai mica".
(Altfel, daca am avea o perioada mai mica, aceasta este distanta dintre cele doua anulari. Dar la (a) tocmai am vazut ca...)

Este clar cum stau lucrurile?

E clar! Am inteles! (o sa mai citesc de cateva ori explicatiile)
Va multumesc pentru amabilitate, promptitudine si pentru timpul acordat!

Numai bine!