Sa se determine intersectiile intervalelor:
a)( (b+5a)/6, (5b+a)/6 ) si (a,b}
b) ( (3a+2b)/5, (3b+2a)/5 ) si ( (5a+b)/6, (7a+2b)/9)
c)[ (2-x)/2, (5-3x)/4] si [(-x)/3, (4-x)/2]

[Citat] Sa se determine intersectiile intervalelor: (a) Intersectia lui I = ( (b+5a)/6 , (5b+a)/6 ) cu J = ( a , b ) (b) Intersectia lui I = ( (3a+2b)/5 , (3b+2a)/5 ) cu J = ( (5a+b)/6 , (7a+2b)/9 ) (c) Intersectia lui I = [ (2-x)/2 , (5-3x)/4 ] cu J = [ -x/3 , (4-x)/2 ]

Avem trei instante ale aceleiasi probleme.
Ma leg de aceea mai intai de primul punct, (a), cu rugamintea de a incerca sa rezolvam dupa aceeasi schema si (b) si (c). (Fie nu mai exista intrebari, fie incepem un dialog ca-n piata...)

(a)
Problema nu ne spune ce trebuie sa facem si in ce ordine,
asa ca trebuie sa ne organizam singuri.
Care este primul lucru de care ne legam?
Este clar ca avem doar de luat pe cazuri si discutat dupa valorile parametrilor cum stau extremitatile unele fata de altele. De exemplu, daca intersectam (0,7) cu (2, 20) trebuie sa vedem cum stau 0 si 7 pe axa fata de 2 si respectiv 20 pe aceeasi axa. Deci problema are de-a face cu inegalitati...

Poate ca repede putem sa facem primul pas, anume sa punem conditia
a < b
pentru ca J = (a,b) sa nu fie interval vid. (Altfel intersectia e multimea vida, trebuie sa precizam in solutie, dar nu ne mai legam la cap..)

Lucram de acum incolo numai cu/in cazul a<b.
Observam ca daca a<b atunci are loc si
(b+5a)/6 < (5b+a)/6
deoarece daca scadem (b+a)/6 din ambele numere...

Sa vedem deci cum stau mai departe aceste numere pe axa.
Ce se poate spune despre a si (b+5a)/6 ?
(E bine sa vedem in al doilea numar ponderile 1/6 si 5/6, suma lor e unu, avem de-a face cu un fel de medie... care e mai aproape de a decat de b...)

Desigur ca a = (5/6) a + (1/6) a < (5/6) a + (1/6) b .
(Sper ca se vede in ce sens avem o medie ponderata. Si inegalitatea de asemenea fara calcule.)

Ce se poate spune despre b si (5b+a)/6 ? Deja e clar ce trebuie sa scriem:
b = (5/6) b + (1/6) b > (5/6) b + (1/6) a .

Deci extremitatile intervalelor I si J stau pe axa dupa cum urmeaza:

(a)-------(b+5a)/6----------------------(5b+a)/6--------(b)

Daca intersectam I cu J dam de I.

La (b) avem de asemenea medii ponderate. Care este solutia?

[Citat] [Citat] Sa se determine intersectiile intervalelor: (a) Intersectia lui I = ( (b+5a)/6 , (5b+a)/6 ) cu J = ( a , b ) (b) Intersectia lui I = ( (3a+2b)/5 , (3b+2a)/5 ) cu J = ( (5a+b)/6 , (7a+2b)/9 ) (c) Intersectia lui I = [ (2-x)/2 , (5-3x)/4 ] cu J = [ -x/3 , (4-x)/2 ] Avem trei instante ale aceleiasi probleme. Ma leg de aceea mai intai de primul punct, (a), cu rugamintea de a incerca sa rezolvam dupa aceeasi schema si (b) si (c). (Fie nu mai exista intrebari, fie incepem un dialog ca-n piata...) (a) Problema nu ne spune ce trebuie sa facem si in ce ordine, asa ca trebuie sa ne organizam singuri. Care este primul lucru de care ne legam? Este clar ca avem doar de luat pe cazuri si discutat dupa valorile parametrilor cum stau extremitatile unele fata de altele. De exemplu, daca intersectam (0,7) cu (2, 20) trebuie sa vedem cum stau 0 si 7 pe axa fata de 2 si respectiv 20 pe aceeasi axa. Deci problema are de-a face cu inegalitati... Poate ca repede putem sa facem primul pas, anume sa punem conditia a < b pentru ca J = (a,b) sa nu fie interval vid. (Altfel intersectia e multimea vida, trebuie sa precizam in solutie, dar nu ne mai legam la cap..) Lucram de acum incolo numai cu/in cazul a<b. Observam ca daca a<b atunci are loc si (b+5a)/6 < (5b+a)/6 deoarece daca scadem (b+a)/6 din ambele numere... Sa vedem deci cum stau mai departe aceste numere pe axa. Ce se poate spune despre a si (b+5a)/6 ? (E bine sa vedem in al doilea numar ponderile 1/6 si 5/6, suma lor e unu, avem de-a face cu un fel de medie... care e mai aproape de a decat de b...) Desigur ca a = (5/6) a + (1/6) a < (5/6) a + (1/6) b . (Sper ca se vede in ce sens avem o medie ponderata. Si inegalitatea de asemenea fara calcule.) Ce se poate spune despre b si (5b+a)/6 ? Deja e clar ce trebuie sa scriem: b = (5/6) b + (1/6) b > (5/6) b + (1/6) a . Deci extremitatile intervalelor I si J stau pe axa dupa cum urmeaza: (a)-------(b+5a)/6----------------------(5b+a)/6--------(b) Daca intersectam I cu J dam de I. La (b) avem de asemenea medii ponderate. Care este solutia?

Mie mi-a dat ca intersectia este multimea vida.Este bine?Ma puteti ajuta cu punctul c)?

[Citat] Fie x un parametru real. Sa se determine (c) Intersectia lui I = [ (2-x)/2 , (5-3x)/4 ] cu J = [ -x/3 , (4-x)/2 ]

Extremitatile ce intervin sunt:
1 - x/2
5/4 - 3x/4

-x/3
2 - x/2 .

In primul rand trebuie sa avem de grija de cazul in care intervalele sunt vide.
Aceasta grija ne va scapa curand de o droaie de cazuri neplacute.
(Speram macar.)

I este interval vid (multime vida) daca si numai daca
(2-x)/2 > (5-3x)/4 :: echivalent cu
2(2-x) > (5-3x) :: echivalent cu
4 - 2x > 5 - 3x :: echivalent cu
3x - 2x > 5 - 4 :: echivalent cu
x > 1 .

Deci in cazul x>1 avem intersectie vida.

J este interval vid (multime vida) daca si numai daca
-x/3 > (4-x)/2 :: echivalent cu
-2x > 3(4-x) :: echivalent cu
-2x > 12 - 3x :: echivalent cu
3x-2x > 12 :: echivalent cu
x > 12 .

Deci in cazul x>12 avem intersectie vida. Stiam oricum... am lucrat putin degeaba.

Consideram acum doar cazul in care
x este mai mic sau egal cu 1.

Comparam acum extremitatile de jos / de sus ale celor doua intervale.
Incercam apoi sa le punem cumva pe axa.

Ecuatia 1-x/2 < -x/3 revine dupa cateva reformatari echivalent la...
6-3x < -2x
6 < 3x-2x
6 < x .
Asa ceva nu se intampla la noi, deoarece x este mai mic sau egal cu 1.
Deci avem pe axa plasarea

---------(-x/3)----------(1-x/2)--------------------

Ecuatia 1-x/2 < 2-2x este satisfacuta intotdeauna.
Deci avem pe axa plasarea

---------(-x/3)----------(1-x/2)------------------(2-2x)---

Ramane sa ne legam de pozitia lui (5-3x)/4. Stim daja ca acest numar se afla la dreapta lui (1-x/2).

Unde se afla acest punct de fapt? Care este solutia?