Sa se evalueze:

[Citat] Sa se evalueze:

Pentru a vedea care este calibrul problemei, sa ne uitam la o relatie asemanatoare, legata de

http://en.wikipedia.org/wiki/Infinite_product
http://en.wikipedia.org/wiki/Wallis_product
care vine "structural" in modul cel mai simplu din intelegerea produselor Weierstraß, zerourile functiilor holomorfe/meromorfe si faptul ca avem o functie "intreaga" (holomorfa) pe intregul plan complex la indemana, sin, care se anuleaza in , ... , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...
cu multiplicitatile care trebuie.
(Cam asa stim de la scoala cum sa spargem polinoamele daca le stim zerourile si termenul principal sau cel constant... Ei bine, aici este "la fel", trebuie sa avem "numai" o grija in plus cu convergenta produselor pe care le scriem pe o bila mica.)
Mai trebuie apoi sa determinam constanta din fata produsului...

La noi, ne uitam poate la ceva asemanator,

care este o functie care nu se incadreaza in forma unui produs Weierstraß.
Avem probleme cu convergenta. Avem de fapt o droaie de probleme. Dam in cel mai bun caz de un fel de determinant "Gamma-regularizat".
(Daca avem convergenta unde trebuie si daca stim care functie meromorfa are zerourile in 0,-1,-2,-3, ... si daca putem calcula o constanta, probabil ca vedem solutia deja. Probabil ca exista si o solutie banala la sfarsit, dar eu nu o vad acum.)

Pentru a intelege despre ce este vorba, sa zicem ca scriem produsul dat ca fiind "produs infinit" supra "produs infinit".
In numitor avem
1.2.2.3.3.4.4.5.5.6.6.7 ... de exemplu,
iar in numarator avem... trebuie sa vad cum se descompune kk+k-1, dar dupa aceea tot mi-e greu sa scriu. In fine, cam tot asa ceva.

Atunci exista o sansa
(in fizica de exemplu apare asa cevasi oamenii s-au chinuit sa dea evaluari exacte)
de a da sens cumva intr-un cadru foarte fragil pentru
http://www.ma.huji.ac.il/conf/Aleggeomrcfttopics-yerusalim.pdf,
§2.1
" log( oo! ) = radical( 2 pi ) "
si pentru formule asemanatoare.
(Trebuie inteleasa o asimptotica la infinit, se ia din ea primul termen finit.)

A nu se crede ca orice produs infinit se poate ambala asa, exista reguli foarte stricte si fragile de "gamma-regularizat".
Sau de "zeta-regularizat" sume si produse infinite.


De aceea inainte de toate (in astfel de cazuri):
Care este sursa?
Care este nivelul? (Am voie sa folosesc analiza complexa de facultate?)
In ce cadru a aparut problema si care este interesul pentru solutia ei?

Am dat peste limita asta cand rezolvam un alt exercitiu, iar interesul pentru solutia ei este doar curiozitatea mea. Ma asteptam sa aiba un raspuns elementar, ceva cu

.
Despre nivel, daca se poate fara analiza de facultate ar fi mai bine :d. Am citit cate ceva despre produse infinite si functia gamma, dar nu am apucat sa lucrez cu pixul in mana.
Oricum, am inteles ce vreti sa spuneti. Scriem limita ca:

si se aplica una din formule, cred ca cea cu functia gamma.

Nu, intentionam o alta scriere, dar scriu mai bine ceva cu cap si coada,
mai bine uitam de regularizari.

Sa zicem ca ne uitam la ceva de forma

Nu am verificat detaliile, de aceea pun un semn de intrebare peste egalitate.

Sa zicem ca stim ceva despre functii (complex) analitice.
Ceea ce scriu mai departe nu este tocmai matematica. (Asa faceau unii argumentele si prin 1700 in orice caz.)

Ne uitam la cele doua expresii.
Partea stanga este o functie ce depinde de z,
pentru fiecare z complex fixat incercam sa depistam convergenta (absoluta) a produsului,
exista un criteriu de comparatie cu (produs > suma),
vedem ca seria respectiva cu termenul general z(z+1) / (k(k+1))
converge absolut si uniform pe compacti complecsi pentru z-uri complexe,
deci ne asteptam sa avem o functie bine definita pe partea stanga.
O notam cu f(z).

Se anuleaza undeva aceasta functie f(z)?
Desigur ca daca unul din factorii expliciti pe care ii vedem se anuleaza undeva, intr-un z0,
sirul produselor partiale devine de la o vreme, anume de la vremea in care trecem de factorul respectiv care se anuleaza in z0, devine sirul constant nul, converge la zero, gata, dam de un zerou al lui f(z).

Putem scrie o teorema asupra faptului ca aceste si numai aceste zerouri intra in discutie... ?
Acest punct nu pot sa-l discut in acest cadru...

Sa vedem in ce puncte se anuleaza cate un factor.
De exemplu factorul cu 1 - z(z+1) /k/(k+1) .
Trebuie sa rezolvam in C ecuatia z(z+1) = k(k+1), radacinile sunt desigur k si -k-1 .
Cand k se plimba dam de urmatoarele anulari ale lui f(z).

1, -2
2, -3
3, -4
4, -5
: : : :

Ar fi bine sa stim de o functie (intreaga, analitica deci pe tot C) care se anuleaza tot pe aici.
Daca stim de Wallis si demonstratia pe idea lui Euler, imediat ne uitam la
z -> sin(pi z) .

Aici sunt doua zerouri in plus, in 0 si in -1, pe care le scoatem.

Asta am si facut cand am scris formula de mai sus.
Daca facem raportul (partea stanga, care este f(z)) SUPRA (partea dreapta)
dam de o functie constanta... hm, mai stiu ceva de marginirea lui sin si a lui f(z) in anumite benzi pentru aceasta...
altfel raportul ar putea fi o functie exponentiala.

Pai daca raportul este constant, sa il calculam unde putem mai bine, in 0, desigur.
Vedem (la limita) ca functia raport constanta este functia unu. Deci are loc egalitatea data.

Fie acum a,b radacinile ecuatiei z(z+1) = 1 .

Calculul produsului dat este deci calculul lui f(a) = f(b) .
Fac acest lucru cu calculatorul. PARI/GP, cu o oarecare aproximare...


(20:22) gp > a = (-1+sqrt(5)) / 2
%18 = 0.6180339887498948482045868344
(20:22) gp > b = (-1-sqrt(5)) / 2
%19 = -1.618033988749894848204586834
(20:22) gp > f(z) = sin( Pi*z ) / Pi/z/(z+1)
(20:22) gp >
(20:22) gp > f(a)
%20 = 0.2966751347435910345701550202
(20:22) gp > f(b)
%21 = 0.2966751347435910345701550202
(20:22) gp >
(20:22) gp > g(w) = prod( k=1, 10000000, 1. - w/k/(k+1) )
(20:23) gp >
(20:23) gp > g(1.)
%22 = 0.2966751644111030255537211033


Se pare ca am (aproape) demonstrat ca

Tema de casa:
Sa se "arate" ca are loc egalitatea:

Un fel de verificare (numerica doar) cu calculatorul:
(20:41) gp > prod( k=1, 10000000, 1. - 4. / 9./ k / (k+1) )
%30 = 0.6202450349159586827332901628
(20:42) gp > 9 * sqrt(3) / 8 / Pi
%31 = 0.6202450073495160557002423106