Fie (an) n>=1 o progresie aritmetica. Sa se arate ca sirul (bn) n>=1 al carui termen general este dat de formula :
a) b indice n= 3+a indice n;
b) b indice n= a indice n + a indice 2n; formeaza o progresie aritmetica.

[Citat] Fie (an) n>=1 o progresie aritmetica. Sa se arate ca sirul (bn) n>=1 al carui termen general este dat de formula : a) b indice n= 3+a indice n; b) b indice n= a indice n + a indice 2n; formeaza o progresie aritmetica.

a) sirul b indice n este o progresie cu aceeasi ratie, pleaca de la b indice 1 = 3 + a indice 1.
b) pentru a arata ca ceva este o progresie aritmetica ajunge sa aratam ca diferenta dintre doi termeni consecutivi este constanta. Ni se da o progresie aritmetica (an). Notam cu r ratia acestei progresii. Incercam sa vedem care este distanta dintre doi termeni consecutivi ai sirului (bn). Atunci
( b indice (n+1) - b indice (n) )
este
( a indice (n+1) + a indice (2(n+1)) ) - (a indice n + a indice (2n) )
care este
( a indice (n+1) - a indice n )
+
( a indice (2(n+1)) - a indice (2n) )
care este
r
+ 2r
care este 3r, o constanta.
Vedem ca sirul (bn) de la b) este o progresie cu ratia 3r, unde r este ratia lui (an).