Daca tgx-ctgx=3, sa se calculeze valoarea expresiei: E=tg4x+4tg2x+6.

[Citat] Se stie ca exista mai multe numere reale x cu proprietatea ca tg(x) - ctg(x) = 3 . Sa se calculeze pentru unul din ele / pentru toate numerele x cu aceasta proprietate valoarea expresiei (scrisa ca sa o vedem cu spatierea de rigoare): E = tg(4x) + 4 tg(2x) + 6 .

In ceea ce ni s-a dat,

tg(x) - ctg(x) = 3 ,

scriem tg respectiv ctg ca fractie,
si/cos, respectiv cos/sin.
Aducem la acelasi numitor.

In numarator putem sa punem in evidenta cosinusul de 2x.
In numitor putem sa punem in evidenta sinusul de 2x.

Care este atunci valoarea pentru tg(2x) ?

Exista o formula care leaga tangenta dublului arcului de tangenta arcului.
Care este atunci valoarea pentru tg(4x) ?

Care este raspunsul la problema?


Nota:
Daca notam cu t valoarea tangentei de la inceput,
atunci avem ecuatia de gradul II in t (dupa cativa pasi)

t - 1/t = 3 .

Solutiile se pot gasi usor.
Cu calculatorul putem vedea cam ce valori poate avea x.
Pentru fiecare din valorile posibile pentru x (intr-o perioada a tangentei) putem sa cerem calculatorului aproximativ valoarea expresiei E.

Sa facem asa. (Ca sa nu rezolvam orbeste problema.)
Folosesc PARI/GP si urmatorul cod.


E(x) = tan(4*x) + 4*tan(2*x) + 6 ;
t = (3+sqrt(13))/2 ;
t - 1/t
x = atan(t)
E(x)
t = (3-sqrt(13))/2 ;
t - 1/t
x = atan(t)
E(x)

Ruland cele de mai sus (mare magie mare de cod...) in PARI/GP dam de...


(21:18) gp > E(x) = tan(4*x) + 4*tan(2*x) + 6 ;

(21:18) gp > t = (3+sqrt(13))/2 ;
(21:18) gp > t - 1/t
%22 = 3.000000000000000000000000000
(21:18) gp > x = atan(t)
%23 = 1.276795025021112843608516151

(21:18) gp > E(x)
%24 = 0.9333333333333333333333333350

(21:18) gp > t = (3-sqrt(13))/2 ;
(21:18) gp > t - 1/t
%26 = 3.000000000000000000000000000
(21:18) gp > x = atan(t)
%27 = -0.2940013017737837756228055403
(21:18) gp > E(x)
%28 = 0.9333333333333333333333333333


Cred ca este clar peste ce trebuie sa dam...

Care sunt pasii intermediari deci?