[Citat]
Se dau progresiile aritmetice 1, 5, 9, 13 ... si 4, 15, 26, 37 ... . Sa se arate ca termenii comuni ai acestor progresii formeaza o progresie aritmetica. |
Excelent, acum putem sa trecem la rezolvare.
Sa zicem ca am aratat prin incercari sau prin enumerare explicita ca 37 este primul termen comun. De acum nu ne mai intereseaza "trecutul" (anume termenii din primul sir sau din al doilea sir inainte de 37), ne uitam numai la termenii ce vin.
Atunci in primul sir vin doar termeni de forma
37 + 4n .
In al doilea sir vin doar termeni de forma
37 + 11k .
Ne punem intrebarea:
Cand si anume exact cand se afla un termen din primul sir in al doilea sir.
Ramane desigur sa rezolvam in numere naturale k si n
(sau intregi, daca vrem sa facem mai precisa partea cu "trecutul") ecuatia
37 + 4n = 37 + 11k .
Desigur ca dam de 4n = 11k,
deci un termen din primul sir de forma
37 + 4n se afla in al doilea sir daca si numai daca avem n = 11 s, s natural (respectiv intreg, daca vrem sa ne legam si de trecut).
Deci termenii comuni sunt exact acei ce sunt de forma
37 + 44s, s natural.
Ei formeaza o progresie cu startul in 37 si ratia de 44.
Nota: Am cerut primul termen, deoarece cum se vede mai sus este un ajutor mare sa il cunoastem. Am cerut si urmatorii in speranta ca se vede faptul ca ratia 44 "are ceva de-a face" cu ratiile progresiilor date. Dupa ce am vazut raspunsul am dedus repede ca acest "are de-a face" a fost de mult clarificat.
Din acest punct nu mai este dupa cum se vede mult pana la terminarea problemei, este doar nevoie de tenacitate si un mod de a conduce argumentarea bazat pe "echivalente"...
Access general
Conţine mesaje necitite
