Sa se discute in raport cu parametrul real m ecuatiile:
a)|x|=m-2
b)|x-6|+|x-10|=m
c)2|x-1|+|x-2|=x+m

[Citat] Sa se discute in raport cu parametrul real m ecuatiile: a)|x|=m-2 b)|x-6|+|x-10|=m c)2|x-1|+|x-2|=x+m

Sa rezolvam atunci impreuna (a)-ul.
Asta inainte de toate! Noi intelegem ca e greu, dar este bine sa ni se vina in intampinare cu un gand macar.

Functia modul
|x|
care este in partea stanga a egalitatii ce valori poate sa ia?
Care sunt solutiile pentru
m = 0 apoi
m = 1 apoi
m = 2 apoi
m = 3 apoi
m = 4 apoi
m general?

Daca aceste lucruri sunt clarificate putem trece mai departe.

[Citat] [Citat] Sa se discute in raport cu parametrul real m ecuatiile: a)|x|=m-2 b)|x-6|+|x-10|=m c)2|x-1|+|x-2|=x+m Sa rezolvam atunci impreuna (a)-ul. Asta inainte de toate! Noi intelegem ca e greu, dar este bine sa ni se vina in intampinare cu un gand macar. Functia modul |x| care este in partea stanga a egalitatii ce valori poate sa ia? Care sunt solutiile pentru m = 0 apoi m = 1 apoi m = 2 apoi m = 3 apoi m = 4 apoi m general? Daca aceste lucruri sunt clarificate putem trece mai departe.

Eu nu stiu care este modul de rezolvare al acestui exercitiu.Adica, ok, dau valori lui m, dar cum aleg aceste valori?

[Citat] [Citat] [Citat] Sa se discute in raport cu parametrul real m ecuatiile: a)|x|=m-2 b)|x-6|+|x-10|=m c)2|x-1|+|x-2|=x+m Sa rezolvam atunci impreuna (a)-ul. Asta inainte de toate! Noi intelegem ca e greu, dar este bine sa ni se vina in intampinare cu un gand macar. Functia modul |x| care este in partea stanga a egalitatii ce valori poate sa ia? Care sunt solutiile pentru m = 0 apoi m = 1 apoi m = 2 apoi m = 3 apoi m = 4 apoi m general? Daca aceste lucruri sunt clarificate putem trece mai departe. Eu nu stiu care este modul de rezolvare al acestui exercitiu. Adica, ok, dau valori lui m, dar cum aleg aceste valori?

De ce mi-a venit mie sa iau acele valori este alta problema. Consider ca asa se poate intelege cel mai usor cum se lucreaza cu modulele.
Inainte sa vedem cum merge problema este bine sa alegem cateva cazuri particulare. Eu le-am ales pe cele de mai sus.

Sa rezolvam asadar cele cateva ecuatii:
|x| = 0-2
|x| = 1-2
|x| = 2-2
|x| = 3-2
|x| = 4-2
pe care le-am scris cu o oarecare spatiere pe care o recomand in general.
(Pe ciorna de bac' mai ales, cand timpul este limitat si ochii confruntati cu foarte multe distractii diferite.)

[Citat] Sa rezolvam asadar cele cateva ecuatii: |x| = 0-2 |x| = 1-2 |x| = 2-2 |x| = 3-2 |x| = 4-2 pe care le-am scris cu o oarecare spatiere pe care o recomand in general. (Pe ciorna de bac' mai ales, cand timpul este limitat si ochii confruntati cu foarte multe distractii diferite.)

1)x apartine multimii vide
2)x apartine multimii vide
3)x=0
4)x apartine 1,-1
5))x apartine 2, -2

[Citat] 1)x apartine multimii vide 2)x apartine multimii vide 3)x=0 4)x apartine 1,-1 5))x apartine 2, -2

Excelent!
(Munca de mai sus este foarte importanta si va ramane in memorie pana la bac...)
Acum vedem despre ce este vorba cu usurinta.
Ecuatia
|x| = m-2
are solutii daca si numai daca acel m-2 este mai mare sau egal cu zero.
Trebui sa "spargem pe cazuri" discutia.

(Motivul este urmatorul. Functia modul este definita pe cazuri. Daca nu putem gasi un argument general, folosind de exemplu proprietati ale modulului care sunt valabile "in general", de exemplu |xy| = |x| |y|, atunci e bine sa impartim pe cazuri.)

- primul caz: m-2 < 0, echivalent m<2 . Ecuatia nu are solutii, partea cu |x| fiind intotdeauna mai mare sau egala cu zero, partea cu m-2 fiind <0 (in acest caz).

- al doilea caz: m-2=0, echivalent m=2. Ecuatia are o unica solutie, anume x=0.

- al treilea caz: m-2 > 0, echivalent m>2. Ecuatia data |x| = (m-2), care in acest caz are doua solutii: x = +(m-2) si x = -(m-2) = 2-m .

Gata.
Desi problema este usoara, ea ne invata un lucru important.
Anume: Daca in datele problemei intervine "ceva" specificat "pe cazuri" (cum este modulul), solutia foarte probabil ca trebuie de asemenea data pe cazuri. Acest lucru nu este greu, este doar "enervant", facem pe fiecare caz aceeasi munca pana la un punct. In orice caz, putem usor sa ne descurcam, trebuie doar sa lucram repede si precis.


Sa trecem la urmatorul punct:

(b) |x-6| + |x-10| = m .

Separarea pe cazuri pe care o facem aici trebuie sa tina cont de cele doua puncte de "impartire pe cazuri" ale functiilor modul ce apar.

Pentru |x-6| punctul de separare este 6, cazurile sunt (x < 6) , apoi (x=6), apoi (x > 6).

Pentru |x-10| punctul de separare este 10, cazurile sunt (x < 10) , apoi (x=10), apoi (x > 10).

Uneori, este bine sa combinam cazurile (x=6) si (x>6) intr-un singur caz, anume (x mai mare sau egal cu 6), pentru ca inca avem formula |x-6| = +(x-6) pe acest caz. Dar in minte trebuie (poate) sa vedem doua cazuri.

Pentru problema de fata, intelegerea vine mai usor daca facem
GRAFICUL FUNCTIEI

IR -> IR
x -> |x-6| + |x-10| .

Cam cum arata acest grafic?
Rog a mi se descrie acest grafic, echivalent, care este pe bucati formula (liniara) pentru aceasta functie? Bucatile sunt desigur:

x in ( -oo, 6 )
x in [ 6, 10 )
x in [ 10, +oo )

Daca se intelege ca functia este liniara pe cele trei bucati,
este clar ca ajunge sa calculam valorile functiei in doar cateva valori si sa "tragem linii". De exemplu ajunge daca sunt calculate valorile functiei in
5,6,10,11 .

(Uneori este bine sa vedem "in prealabil" care este coeficientul lui x pe fiecare bucata. Este vorba de panta graficului. Desigur ca pe bucata [ 10, +oo ) avem x + x si inca ceva constant, deci 2x+..., deci panta este 2.
Pe bucata din mijloc avem -x+x, deci ceva constant!
Pe bucata ramasa...)

Daca sunt intrebari, cu incredere, ele trebuie doar formulate. (Si aceasta formulare in propriile cuvinte este un pas important pe drumul spre intelegere.)