Buna ,tuturor ! Inca nu reusesc,trebuie folosita faimoasa teorema a lui Lagrange..

Cu Lagrange se face asa:

Fie

. Evident

este continua pe intervalul

si derivabila pe

. Din teorema lui Lagrange, exista un

astfel incat:

Cum

, rezulta ca:

iar cand inmultesti cu

care este negativ, se schimba semnele inegalitatilor.

Altfel se poate demonstra asa: notam

si inegalitatea devine

care se demonstreaza studiind comportarea derivatei pe intervalul

.

Iti multumesc mult. Un lucru pe care care nu il stiam: panta coardei determinata de cele doua puncte

e aceeasi cu

,necontand ordinea in care iei cele doua puncte.

[Citat] .

Sau vedem ca de fapt doar una din cele doua inegalitati trebuie aratata, anume lasand t sa se plimbe pe intregul interval ( 0, +oo ) fara punctul 1.
Vrem deci

1 + ln t mai mic sau egal cu t pentru t>0 cu egalitatea exact in 1.

Substituim ln t = x . Vrem deci

1 + x mai mic sau egal cu exp(x) pentru x real cu egalitatea exact in 0.

Functia diferenta g: IR-> IR
g: x -> exp(x) - (x+1)
este o functie strict convexa, derivata secunda este exp(x) > 0 .
Valoarea functiei in 0 este 0.
Tangenta in zero este Axa Ox .
Convexitatea strica implica faptul ca graficul functiei se afla strict peste aceasta tangenta in puncte diferite de 0.

[Inegalitatea in exp este cea standard in zilele noastre.]

[Am folosit aici proprietatile restului Taylor de ordinul doi, am derivat de doua ori. Pentru a folosi Lagrange, trebuie sa folosim restul Taylor de ordinul unu. Atunci facem acest lucru pentru g'. Avem atunci pentru un x>0
( g'(x) - g'(0) ) : (x-0) = g''(c) = exp(c) > 1 .
Inmultim capetele cu x pentru a da de

exp(x)-1 - (exp(0)-1) > 1.x

si pentru x<0 procedam la fel... Este bine sa se vada ca motivul pentru care avem inegalitatea este o convexitate. Nu este bine sa se vanda acest lucru in mod didactic ca un fel de fenomen legat de Lagrange... Pentru a intelege ce se intampla, polinoamele Taylor si formula restului Taylor trebuie intelese mai devreme sau mai tarziu.]