Sa se arate ca

, oricare ar fi x, real.(Nu prea am idei la aceasta problema tinand cont ca x se afla in fiecare termen (din membrul stang) cu coeficientul 1)

Sa incercam sa rezolvam atunci o problema asemanatoare:
Sa se calculeze

(Este deseori util sa luam suma "complementara". Acest lucru se datoreaza faptului ca in facultate cel tarziu,
dupa introducerea functiei exponentiale - o functie cu buna purtare fata de multiplicare -
se introduc sin si cos via

exp( it ) = cos(t) + i sin(t) pentru t real.

(Daca stim cum se extrag partile reala si imaginara printr-o formula liniara in exp(it) si conjugata exp(-it), ei bine formula respectiva are loc pentru orice t complex.)

Morala la noi:
Avem o formula in care cu proprietati de multiplicativitate ne-am descurca algebric. Trebuie sa completam cu partea "complementara" si atunci avem joc usor...

http://en.wikipedia.org/wiki/Chebyshev_polynomials#Examples
Coeficientii polinomului Cebasev de ordin 7 sunt mai sus...
Mai avem nevoie si de ceilalti de ordin mai mic.
(Sau poate ca nu... folosind T3-ul, care este valoarea sumei... daca inlocuim puterea a 7-a cu puterea a 3-a?)
Cel mai simplu...


Alternativ:

Hmm..problema e propusa la clasele 9-10 . Deic ideea cred ca este sa introducem pe i cumva si cred ca trebuie introdus si sin...

Incerc mai explicit...

Sunt de data asta cumva mai putin criptic?

Nu stiu ce sa zic...m-ati lasat in suspans si cand ati trecut la partea "mai importanta", dar si prin faptul ca ati calculat sumele de cos(x+8kpi/7) nu cos(x+kpi/7)...

Incerc atunci si mai explicit...

Tema de casa:
Care sunt polinoamele T1, T3, T5, T7?
Care este coeficientul lor principal?
Care este suma S9 (in care inlocuim puterea a 7-a a cosinusurilor cu cea de-a noua)?
Verificare numerica neaparata cu computerul! (Pentru S1, S3, S5, S7, S9.) Eu recomand pari/gp, maxima sau sage.

In primul rand,

Acum, mai am o problema:
De ce avem:

?
VA MULTUMESC!

[Citat] Tocmai am vazut acum cateva zile o solutie suverana pentru faptul ca centrul de greutate al unui poligon regulat inscris in cercul unitate este originea. (Pentru trei laturi, aici avem sapte.)

Sa zicem ca ne uitam acum la suma in care inmultim argumentul cu 5.
Completam cosinusurile cu i*sinusuri incat sa dam de puncte pe cercul trigonometric (centru originea, raza unu). Cum sunt plasate punctele respective?

Multumesc pentru raspuns!
Intr-adevar, luam

si

(eroare: eq.2/37026)$ \+i \sin \frac{40\pi}{7} \= $ (eroare: eq.3/37026)$ \cos \frac{12\pi}{7}+i \sin \frac[12\pi}{7}$, si deci termenii sumei sunt: (eroare: eq.4/37026)$z,z \epsilon,z \epsilon^2,...,z\epsilon^6$ care sunt rotatii ale lui z in jurul lui O. In fine, (eroare: eq.5/37026)$z\epsilon$ e rotatia lui z cu un unghi de (eroare: eq.6/37026)$-\frac{2\pi}{7}$(sens trigonometric) , (eroare: eq.7/37026)$z \epsilon^2$ e rotatia lui (eroare: eq.8/37026)$z\epsilon$ cu un unghi de (eroare: eq.9/37026)$-\frac{2\pi}{7}$ s.a.m.d. si deci avem un heptagon regulat.
De fapt nu asta ne intereseaza pe noi (dar intrebarea dvs. m-a adus la cele ce urmeaza...la inceput (inainte sa va intreb de ce e suma egala cu 0 (cu alte cuvinte)) am incercat pe wolframalpha ceva sa vad daca suma e egala cu 0, dar cred ca am scris cev gresit sau site-ul nu calculeaza asa ceva :D)) ci Re(S), unde (eroare: eq.10/37026)$S=z+z\epsilon+...+z\epsilon^6$ ,suma care este egala cu 0 :D.

Va multumesc!

Edit: Rog pe domnii moderatori sa imi editeze mesajul, pt ca nu stiu ce am gresit de imi apare eroare.

[Citat] Multumesc pentru raspuns! ,suma care este egala cu 0 :D. Va multumesc!

Necompilarea venea din faptul ca era folosit un \ unde nu trebuie si mai era nebalansarea de paranteze [} .

Cand am de tiparit atata intercalare de text cu matematica, folosesc pentru pasaje mai mari blocurile equation. Altfel recunosc ca e un chin...