Fie a,b,c numere reale pozitive cu a+b+c=1 si n un numar natural nenul. Sa se arate ca:

.

Am incercat o rezolvare tot cu multiplicatori lagrange: (dar nu stiu cum sa scriu solutia, de aceea c-as ruga sa imi adaugati dvs. (oricine stie) la problema ca sa fie completa)

Daca a=0 sau b=0 sau c=0 inegalitatea e evidenta, iar daca a=1 sau b=1 sau c=1 se deduce ca b=c=0,a=c=0, respectiv a=b=0 si din nou inegalitatea e evidenta.
Presupunem ,deci, ca a,b,c sunt diferite de 0 si de 1, atunci

Fie funcita

.
Derivand, obtinem (etapele de derivare nu sunt importante, adica le stiu de pe Wolframalpha) :

si analoagele. Obtinem astfel:

Impartind cu

, care este un numar nenul din conditia ca a,b,c sunt diferite de 0, obtinem:

(1)
Fie functia f: (0,1)->R cu

.
Cum

rezulta ca f e strict crescatoare pe (0,1), deci este si injectiva, ceea ce ne conduce la faptul ca

,deci, din (1) rezulta ca a=b=c si cum a+b+c=1, rezulta ca a=b=c=1/3.
Prin inlocuire, se deduce usor ca

, deci acesta este un punct de extrem al functiei. Un simplu exemplu arata ca acesta nu poate fi minimul, deci este maximul si problema este terminata.

Nota: De aici rezulta ca singurul caz de egalitate este a=b=c=1/3?

Vin doar cu o solutie alternativa.

Trebuie sa demonstram ceva de forma

Problema se rezolva acum ochiometric in modul urmator.
Pe partea stanga ne uitam la 27 abc. Din inegalitatea mediilor avem
abc
mai mic sau egal decat
( (a+b+c)/3 ) la a treia.
Deci pe partea stanga ridicam la puterea a n-a un numar subunitar.
Putem face pagube maxime atunci in inegalitate cand il luam pe n minimal, anume
n=1 .

(Sau inseram pur si simplu un unu intre partea stanga si cea dreapta cu curaj.)

Bun. Cred ca trebuie as intru in poza din latex acum...

Este desigur o incercare care se merita cea de a intelege ce se intampla mai sus folosind multiplicatorii lui Lagrange. Este bine insa sa aducem problema la forma cea mai simpla cand incerca sa facem acest lucru. De exemplu am putut usor izola dependenta de n si realizarea unui extrem fata de acest n pentru o functie ce genereaza aceeasi inegalitate. In general trebuie sa punem algebric problema in pozitia cea mai buna.

Nota:
In general e bine sa vedem ca daca incercam sa demonstram ceva de forma

p f(a) + q f(b) + r f(c)
mai cumva decat
f( pa + qb + rc )

pentru o functie concava f sa zicem,
unde ni se da legatura
a+b+c = 1
(sa zicem, renormam f altfel)
si ni se ascunde forma de mai sus a partii f( pq+qb+rc ) si noi nu o cautam,

atunci undeva trebuie sa ne luam altfel informatia necautata.
(Inegalitatea este "exact concavitatea", in fine, daca a,b,c si p,q,r se misca independent, deci argumentul folosest poate exact aceasta concavitate undeva.)

La noi, p,q,r, nu sunt chiar constante, dar ele sunt respectiv "aceeasi functie" - sa zicem p prin abuz sau renotare...

Daca incercam cu multiplicatorii lui Lagrange, atunci gasim extremele LOCALE uitandu-ne la functia ajutatoare

F( a,b,c,s ) = p(a) f(a) + q(b) f(b) + r(c) f(c) - s( a+b+c )

Atunci avem de rezolvat un sistem
(pf)'(a) = (pf)'(b) = (pf)'(c) = s .

La noi, functia (pf)(a) = a(1-a)/2 asa cum am izolat-o poate mai sus, este de asa natura incat egalitatea de mai sus are loc fie undeva la margine,
de exemplu a aiurea, b=1-a si pentru c nu mai ramane decat c=0,
fie in a=b=c, deci in a=b=c=1/3 .

Cu Jensen m-am uitat la functia ajutatoare
F( a,b,c,s ) = p(a) f(a) + q(b) f(b) + r(c) f(c) - f( ap(a)+bp(b)+cp(c) )
si a mai trebuit sa stiu ceva despre monotonia lui f din ultimul termen si extremele expresiei ap(a)+bp(b)+cp(c) .
Putem face o industrie de astfel de inegalitati pentru f-uri crescatoare si concave, daca alegem ponderile de gradul 1 corespunzator.

Pentru a intelege cum stau lucrurile cu Lagrange, recomand mai intai intelegrea
maximului functiei ax+by+cz pe sfera... Aici se vede clar in ce directie "creste" functia de maximizat / minimizat, anume cat mai departe (intr-o parte sau alta) mergand in directia vectorului normal (a,b,c) la suprafetele de valoare constanta ale functiei...