Sa se demonstreze ca numerele radical din n^2+1 si radical din n^2+8 sunt numere rationale pentru un numar finit de valori ale lui n natural.Ramane aceasta proprietate in Q?

[Citat] Sa se demonstreze ca numerele radical din n^2+1 si radical din n^2+8 sunt numere rationale (doar) pentru un numar finit de valori ale lui n natural. Ramane aceasta proprietate adevarata daca il lasam pe n sa ia valori in Q?

Problema are doua parti. Cele doua parti au grade de dificultate indepartate, cam tot asa cum stau la departare clasa a V-a si o diploma la o facultate de matematica. De aceea voi tipari repede cateva randuri, cerand o informatie despre cum sa tiparesca mai departe. (Nu am gasit nici o solutie inca la nivel de liceu, probabil ca exista una, dar daca il inlocuim de exemplu pe acel 8 cu 17 sau cu 26 lucrurile sunt definitiv parte din teoria numerelor de dupa 1930.)

Prima parte se rezolva usor daca tinem cont de faptul ca
pentru un numar natural K
radical( K ) este rational
daca si numai daca
radical( K ) este natural.

(O lema a lui Gauss, probabil.)
Deoarece doua patrate consecutive devin din ce in ce mai departate si aceasta departare scapa destul de repede de departarea 7 dintre
nn+1 si nn+8
prima parte a problemei e repede rezolvata.

A doua parte este ceva mai complicata.
Ii scriu aici inceputul.

Sa zicem (presupunem) ca n este de forma X/Y, fractie deja ireductibila in forma "cum am scris-o",
de asa natura incat nn+1 si nn+8 sunt patrate de numere rationale.
Obtinem atunci existenta in numere naturale a unor Z si T cu

XX + YY = ZZ si
XX + 8 YY = TT .

Prima ecuatie este satisfacuta daca si numai daca dam de a,b prime intre ele cu
X si Y fiind fie
aa-bb si 2ab, fie invers.

Inlocuim aceste valori in a doua ecuatie, impartim cu b^4 si dam de o solutie in numere rationale pentru

s^4 + 30 s^2 + 1 = t^2 , respectiv pentru
s^4 - (3/2) s^2 + 1 = t^2 .

Inmultim aici cu s² (pentru ca asa se reduce ecuatia asta "eliptica") si notam acel s² cu un S pentru a da de

SSS + 30 SS + S = V^2 , respectiv de...

De aici se poate argumenta algoritmic, la nivel de facultate, pentru a vedea ca nu avem solutii.

Inainte de a scrie si alte lucruri am o rugaminte:

Care este sursa problemei?
Care este interesul pentru aceasta problema si in ce cadru a aparut?
(Aici V = st.)

[Citat] [Citat] Sa se demonstreze ca numerele radical din n^2+1 si radical din n^2+8 sunt numere rationale (doar) pentru un numar finit de valori ale lui n natural. Ramane aceasta proprietate adevarata daca il lasam pe n sa ia valori in Q? Problema are doua parti. Cele doua parti au grade de dificultate indepartate, cam tot asa cum stau la departare clasa a V-a si o diploma la o facultate de matematica. De aceea voi tipari repede cateva randuri, cerand o informatie despre cum sa tiparesca mai departe. (Nu am gasit nici o solutie inca la nivel de liceu, probabil ca exista una, dar daca il inlocuim de exemplu pe acel 8 cu 17 sau cu 26 lucrurile sunt definitiv parte din teoria numerelor de dupa 1930.) Prima parte se rezolva usor daca tinem cont de faptul ca pentru un numar natural K radical( K ) este rational daca si numai daca radical( K ) este natural. (O lema a lui Gauss, probabil.) Deoarece doua patrate consecutive devin din ce in ce mai departate si aceasta departare scapa destul de repede de departarea 7 dintre nn+1 si nn+8 prima parte a problemei e repede rezolvata. A doua parte este ceva mai complicata. Ii scriu aici inceputul. Sa zicem (presupunem) ca n este de forma X/Y, fractie deja ireductibila in forma "cum am scris-o", de asa natura incat nn+1 si nn+8 sunt patrate de numere rationale. Obtinem atunci existenta in numere naturale a unor Z si T cu XX + YY = ZZ si XX + 8 YY = TT . Prima ecuatie este satisfacuta daca si numai daca dam de a,b prime intre ele cu X si Y fiind fie aa-bb si 2ab, fie invers. Inlocuim aceste valori in a doua ecuatie, impartim cu b^4 si dam de o solutie in numere rationale pentru s^4 + 30 s^2 + 1 = t^2 , respectiv pentru s^4 - (3/2) s^2 + 1 = t^2 . Inmultim aici cu s² (pentru ca asa se reduce ecuatia asta "eliptica") si notam acel s² cu un S pentru a da de SSS + 30 SS + S = V^2 , respectiv de... De aici se poate argumenta algoritmic, la nivel de facultate, pentru a vedea ca nu avem solutii. Inainte de a scrie si alte lucruri am o rugaminte: Care este sursa problemei? Care este interesul pentru aceasta problema si in ce cadru a aparut? (Aici V = st.)

Sursa problemei este culegerea de matematica de clasa a IX-a,de Marius Burtea si Georgeta Burtea, a aparut in cadrul exercitiilor recapitulative si vreau sa o rezolv pentru a aprofunda materia din clasa a IX-a.