1.Sa se determine numarul de elemente ale multimii {{radical din 1, radical din 3, radical din5, ...radical din (2n-1)} intersectat cu Q}

Pentru inceput, vom demonstra lema:
Daca

, atunci

:
Presupunem contrariul si notam

, (p,q)=1, p,q-naturale nenule si q diferit de 1. Prin ridicare la patrat obtinem:

,deci

, adica q=1, deoarece (p,q)=1. Contradictie! Deci, lema e demonstrata.

Astfel, problema se reduce (rescrie) la:
"Sa se gaseasca cardinalul multimii:

".
In aceste conditii, este evident ca

, unde k e natural impar si patrat perfect (adica radical dintr-un numar impar patrat perfect este tot un numar impar)
Notam

.
Daca p-impar, atunci:

, iar daca p-par, atunci:

,deci, cardinalul cerut este:

daca p-impar, respectiv,

daca p-par, unde

, sau

,unde r este restul impartirii lui p la 2.

[Citat] Pentru inceput, vom demonstra lema: Daca , atunci : Presupunem contrariul si notam , (p,q)=1, p,q-naturale nenule si q diferit de 1. Prin ridicare la patrat obtinem: ,deci , adica q=1, deoarece (p,q)=1. Contradictie! Deci, lema e demonstrata. Astfel, problema se reduce (rescrie) la: "Sa se gaseasca cardinalul multimii: ". In aceste conditii, este evident ca , unde k e natural impar si patrat perfect (adica radical dintr-un numar impar patrat perfect este tot un numar impar) Notam . Daca p-impar, atunci: , iar daca p-par, atunci: ,deci, cardinalul cerut este: daca p-impar, respectiv, daca p-par, unde , sau ,unde r este restul impartirii lui p la 2.

Mi-ati mai putea explica inca o data ultima parte a rezolvarii?(de la notatia cu p)

[Citat] Mi-ati mai putea explica inca o data ultima parte a rezolvarii? (de la notatia cu p)

Incerc eu pe un caz particular, s-ar putea sa ajute...
Sa zicem ca ne legam de multimea
A(99) = { radical(1), radical(3), radical(5), radical(7), radical(9), , radical(11), , radical(13), ..., radical(99) } .

Cate elemente din A(99) se afla in IN ?
(Vrem deci intersectia lui A(99) cu multimea IN a numerelor naturale.)
Cum este scris si mai sus, daca vreun radical este natural, el este impar. Deci in intersectie se pot afla doar numerele naturale impare
1,3,5...
Pana unde mergem?
Desigur ca nu putem depasi acel radical din 99, deci ne oprim la partea intreaga a ultimului radical, deci la 9.
Reciproc este clar ca numerele 1,3,5,7,9 sunt in A(99)...

Rezolvarea de mai sus vrea doar sa puna mana (printr-o formula explicita) pe acest numar, 5, de numere impare de la 1 la 9 in cazul de fata.

Tema:
Am vazut ca A(99) intersectat cu IN este explicit multimea {1,3,5,7,9} cu 5 elemente.
Pentru M numar impar sa notam cu
A(M) = { radical(1), radical(3), ... , radical(M) } .

Care este explicit multimea
(a) A(217) intersectat cu IN ? Cate elemente are ea?
(b) A(123) intersectat cu IN ? Cate elemente are ea?
(c) A(961) intersectat cu IN ? Cate elemente are ea?

Cum putem (de)scrie in functie de M numarul elementelor multimii
A(M) intersectat cu IN ?