Pe multimea numerelor reale se defineste legea de compozitie x*y=xy+ax+by , x,y din R unde a,b sunt constante reale.

1)Determinati ce conditie trebuie sa indeplineasca numerele a si b pentru ca legea sa fie comutativa.
2)Determinati ce conditie trebuie sa indeplineasca numerele a si b pentru ca legea sa admita element neutru.
3)Determinati numarul perechilor (a,b) pentru care (R,*) este grup.
4)Determinati numarul perechilor (a,b) pentru care intervalul [0,2] este parte stabila la legea "*".

[Citat] Fie a,b sunt necunoscute reale. (In curand vom defini ceva de depinde de a,b, deci trebuie sa introducem aceste litere mai inainte. In curand rezolvam ecuatii in a,b, deci nu avem constante ci necunoscute.) Pe multimea numerelor reale se defineste legea de compozitie * ce depinde de a,b, data de formula x*y = xy + ax + by , x,y din R . (1) Determinati ce conditie trebuie sa indeplineasca numerele a si b pentru ca legea sa fie comutativa. (2) Determinati ce conditie trebuie sa indeplineasca numerele a si b pentru ca legea sa admita element neutru. (3) Determinati numarul perechilor (a,b) pentru care (R,*) este grup. (4) Determinati numarul perechilor (a,b) pentru care intervalul [0,2] este parte stabila la legea "*".

(1) Comutativitatea are loc daca si numai daca pentru orice x,y numere reale avem
x*y = y*x.

Comparam cele doua expresii si "vedem ca" * e comutativa daca si numai daca a=b.
Ca sa nu mai "vedem" putem argumenta repede prin specializare:

Daca * este comutativa, atunci
a = 1*0 = 0*1 = b.

Reciproc, daca a=b chiar "vedem comutativitatea (deoarece pe IR operatiile..)

(2) Presupunem ca exista un element U (de la unu sau de la unitate) cu
U*x = x*U = x pentru orice x real.

De aici
Ux + aU + bx
=
xU + ax + bU
=
x .

Impartim cu x nenul si
trecem la limita cu x spre infinit
pentru a vedea ca U+b = U+a = 1 .
In particular a=b.
Inlocuim in ecuatii si dam de aU = bU = 0.

Daca U=0 dam de a=b=1, deci operatia este x*y = xy+x+y = (x+1)(y+1)-1...
Daca a=b=0 dam de U=1, deci operatia este x*y = xy

(3) Pentru a avea un grup in mana trebuie sa avem element neutru.
Deci numarul cerut este cel mult doi.

Ei bine, cele doua legi de mai sus sunt sau nu legi de grup?


(4)
x,y se plimba in [0,2] in cele ce urmeaza.
Atunci
0*x = bx, deci b este mai mare sau egal cu 0.
x*0 = ax, deci a este mai mare sau egal cu 0.

Luam numai astfel de a,b-uri.
Ne uitam la functia
f de la [0,2] x [0,2] la [0,oo) .

Atunci f(x,y) este un numar >= 0.
Trebuie sa asiguram ca acest numar este sub 2.
Ne legam de maximul lui f.
Desigur ca maximul se atinge in...

Care este raspunsul la (4)?

Nota: Spatierea este bine venita in textul de pe net si in cel de pe caiet.
Nu e bine sa scriem(5)imediat dupa cuvant.Si cand incepem o propozitie e la fel de rau sa... Si in acest secol parantezele vin balansate. Asa (6), nu asa 6), pentru ca partea rotunda de la 6 e ca o paranteza si pentru ca majoritatea editoarelor se plang de paranteze neimperecheate. De exemplu orice editor de latex normal...

[Citat] Nota: Spatierea este bine venita in textul de pe net si in cel de pe caiet. Nu e bine sa scriem(5)imediat dupa cuvant.Si cand incepem o propozitie e la fel de rau sa... Si in acest secol parantezele vin balansate. Asa (6), nu asa 6), pentru ca partea rotunda de la 6 e ca o paranteza si pentru ca majoritatea editoarelor se plang de paranteze neimperecheate. De exemplu orice editor de latex normal...

Va multumesc foarte mult pentru indicatiile de tehnoredactare.Obiectiile dumneavoastra sunt binevenite.