Aratati ca oricare ar fi a,b,c>0 cu

avem:

.

Am vrut sa demonstrez aceasta inegalitate folosing multiplicatorii lagrange (am vrut sa-i exersez pt ca si pe ei i-am invatat saptamana asta:D):
Luam functia

.
Avem:

(este corect?) si analoagele.
Obtinem, deci:

De aici avem:

si m-am gandit ca

care implica a=b (deoarece

) este solutie (si analog b=c), deci in cazul a=b=c se obtine un punct de extrem al functiei F. Acest punct este 1 si nu poate fi maxim (orice exemplu in care nu avem F=1 este bun) ,deci este minim si problema e rezolvata. Este bine cum m-am gandit? sau trebuia sa arat ca in cazul in care a!=b ecuatia

nu are solutii? Va multumesc!

Deoarece functia f de la [ 0, oo ) tot aici data de
f(x) = x( 1+xx ) = x + xxx
are derivata
f'(x) = 1 + 3xx > 0,
dam de o functie strict crescatoare.

Mai sus aveam ceva de forma
x(1+xx) = y(1+yy) = z(1+zz) ,
deci din injectivitatea lui f
x=y=z.

Rezulta atunci a=b=c...

Nota:
Pentru a completa argumentul cu multiplicatorii Lagrange trebuie examinata si marginea domeniului...

Nota:
Se poate aplica Jensen din prima?

[Citat] Nota: Pentru a completa argumentul cu multiplicatorii Lagrange trebuie examinata si marginea domeniului... Nota: Se poate aplica Jensen din prima?

Multumesc pentru raspuns. Sa inteleg:
Trebuie sa demonstrez ca singura solutie e a=b=c (si in general sa gasim toate solutiile), adica nu putem lua o solutie particulara ?

Imi puteti scrie ,va rog, cum sa examinez marginea domeniului?
P.S. Cred ca nu se poate aplica direct Jensen, adica ma gandesc ca trebuie un C.B.S. mai intai, sau ceva de genu'...(daca gresesc, as vrea sa vad cum iese direct din Jensen, daca nu va suparati!)
Va multumesc!

M-am razgandit in legatura cu Jensen. Probabil este posibil (o sa ma gandesc la asta)..
P.S. Ieri seara pe la 11 cand am citit mesajul dvs. cand am vazut Jensen m-am gandit strict la functia tg si am crezut ca trebuie ,deci , sa scapam de puterea 2 (de aceea am zis de C.B.S.), dar dupa ce m-am bagat la somn (cand eram in pat) m-am gandit ca pot alege functia tg^2 :D.

Sper sa nu fi gresit :D :
Fie

.Atunci:

si

, deci f este o functie convexa pe R.
Aplicand inegalitatea lui Jensen, obtinem:

si de aici obtinem concluzia, inlocuind a+b+c cu pi.

In orice caz, interesul meu este sa aprofundez multiplicatorii lagrange, dar nu strica exersarea convexitatii :D.

[Citat] Sper sa nu fi gresit :D : Fie .Atunci: si , deci f este o functie convexa pe domeniul de definitie (R\{(2k+1)pi/2, k-intreg}). Aplicand inegalitatea lui Jensen, obtinem: si de aici obtinem concluzia, inlocuind a+b+c cu pi. In orice caz, interesul meu este sa aprofundez multiplicatorii lagrange, dar nu strica exersarea convexitatii :D.

Off,... de ce sunt butoanele Editeaza si Citeaza unul langa altul?)
(Am vrut sa modific domeniul de convexitate al lui f :D)

Am modificat la derivare :D! Trebuie sa mai exersez...de fapt uit mereu ca tg,sin,.. sunt functii

Am mai dat de probleme cu variabile pozitive, de fapt cam majoritatea sunt ... de aceea va rog frumos sa imi explicati cum pot examina marginea domeniului in cazul nostru. Va multumesc!

Mi-e greu sa desenez aici multimea acelor a,b,c din spatiu cu

a,b,c > 0
si
a+b+c = pi.

In orice caz este un triunghi, ceva doi dimensional in spatiul trei dimensional.
Folosind multiplicatorii lui Lagrange (analiza de facultate - mai mult variabile reale - de fapt, ceva dincolo de luarea semnului derivatei) gasim pentru functii definite si suficient de bine derivabile pe intreg spatiul
extreme locale pe o subvarietate data de o legatura (cu mai multe conditii / cu valori in IR la o putere).

Daca desenam triungiul intr-un plan, dupa o proiectie (care duce marginea in margine),

* (0,0,pi)
|
|
| (0,pi,0)
*-------*
(pi,0,0)

vedem deci prin Lagrange numai punctele in care avem extreme locale in interiorul triunhgiului. Daca punem triunghiul de mai sus pe masa si ne imaginam o functie F de la el la IR-ul reprezentat de inaltimea spre cer de pe masa (in foecare punct), atunci graficul acestei functii ar putea sa fie:

- un fel de parasuta = umbrela ca sa nu ne ploua (doar peste triunghi) , caz in care avem un punct de maxim global si la margini nu avem probleme,

- un fel de ceaun, wok, ...(doar peste triunghi) , caz in care avem un punct de minim global si la margini nu avem probleme,

- dar si ceva mai complicat, un fel de semnal sinusoidal de-a lungul unei inaltimi a triunghiului, prelungit cumva spre margini, de exemplu cu aceleasi valori pe paralele la "baza". Ei bine, minimul global poate fi obtinut in varf. Ei bine, un astfel de minim trebuie sa-l gasim parametrizand marginea.

In cazul problemei noastre, nu "avem intotdeauna" marginea, functia nu se poate prelungi peste tot continuu la margine. Vedem curand. Putem sa ne imaginam ca mergem la limita spre un punct de la margine. Fara a restrange generalitatea ne legam de un punct de forma

(a,b,0)

cu a+b = pi, ambele a,b nenule, primul caz,

si de punctul

(pi,0,0), al doilea caz.

Atunci in primul caz un punct care tinde la ... este de forma
( a-h, b-l, h+l )
cu h,l "mici", nu ambele nule.
Este clar ca limita exista, punctul de la margine (a,b,0) admite local o prelungire continua cu valoarea

tan^2(a/2) + tan^2(b/2) .

Si acum avem de studiat minimul / maximul acestei expresii unde
a,b > 0 satisfac legatura a+b = pi .

Dam de o problema de aceeasi natura intr-o dimensiune inferioara.
Minimul este din nou din motive de convexitate (sau printr-un nou Lagrange) atins "in centru" in a = b = pi/2 si are valoarea 1+1 = 2. Care este mai mare decat acel 1 pe care il avem cu multiplicatorii lui Lagrange pe interiorul triunghiului...

Mai ramane sa ne legam de varful (pi,0,0).
(De care ne-am legat de fapt in cazul de mai sus cu doar a si b de fapt...)

Un punct ce tinde la (pi,0,0) este de forma
(pi,h,l) cu h si l mici. Este clar ca limita functiei este plus infinit, nu o putem extinde prin continuitate la margine, iar limita spre punctul de la margine exista, este infinita, in orice caz ceva mai mare decat 1.

Minimul (absolut, este singurul minim relativ si) se atinge deci in interiorul
triunghiului.