am nevoie de ajutor pentru o problema cu vectori.notam cu M,N,P,Q,R,S mijloacele laturilor AB,BC,CD,DE,EF,FA ale hexagonului ABCDEF.Demonstrati ca triunghiurile MPR si NQS au acelasi centru de greutate.

Luam O un punct arbitrat in plan. Folosing vectorul de pozitie al mijlocului unui segment, avem*XY* reprezinta vectorul XY)
*OM*=(*OA*+*OB*)/2 si la fel pentru N,P,Q,R,S.
Fie G-centrul de greutate al triunghiului MPR si G' al triunghiului NSQ.
Avem:
*OG*=(*OM*+*OP*+*OR*)/3=((*OA*+*OB*)/2+(*OC*+*OD*)/2+(*OE*+*OF*)/2)/3=(*OA*+*OB*+*OC*+*OD*+*OE*+*OF*)/6
*OG'*=(*ON*+*OQ*+*OS*)/3=((*OB*+*OC*)/2+(*OD*+*OE*)/2+(*OF*+*OA*)/2)/3=
=(*OA*+*OB*+*OC*+*OD*+*OE*+*OF*)/6
Deci, *OG*=*OG'*, adica G=G',ceea ce trebuia demonstrat.

[Citat] Se da un hexagon arbitrar ABCDEF in plan. (Sau ceva mai general cele sase puncte A,B,C,D,E,F in spatiu.) Notam cu M,N,P,Q,R,S mijloacele laturilor AB, BC, CD, DE, EF, FA (ale hexagonului). Demonstrati ca triunghiurile MPR si NQS au acelasi centru de greutate.

Dau solutia mecanica, ea poate deschide intuitia fizica pentru vectori.
Plasam pentru inceput in fiecare din cele sase puncte A,B,C,D,E,F cate o masa de 1kg. Fie G centrul de greutate al configuratiei date. (Acesta este locul in care putem plasa cu acelasi efect fizic o masa de 6kg.)

Putem sa ne "apropiem" de G in doua moduri.
(Dam desigur de acelasi G...)

Primul mod:
Inlocuim cele doua mase de 1kg din A si B cu o masa de 2kg in M.
Inlocuim cele doua mase de 1kg din C si D cu o masa de 2kg in P.
Inlocuim cele doua mase de 1kg din E si F cu o masa de 2kg in R.
Si acum inlocuim cele trei mase de 2kg tocmai puse in M,P,R cu o masa de 6kg in centrul de greutate al triunghiului MPR.

Al doilea mod...

multumesc foarte mult pentru ambele metode