Salut din nou. Ma puteti ajuta si cu acest exercitiu,va rog ? Pot sa spun ca m-am straduit (si inca),dar nu imi vine nici o idee...

Ne uitam la functia f de la IR la IR data de polinomul de grad 13 de mai sus.
Vrem sa aratam ca ea are o singura anulare intre 0 si 1.

Derivam pentru a vedea ca f'(x) > 0 pe (0,1) .
Deci f este o functie strict crescatoare pe [0,1].
Ea pleaca din f(0)=-1 si ajunge in f(1)=2.
Are loc o schimbare de semn.
Deoarece f este continua, f are proprietatea lui Darboux, deci ia orice valoare dintre -1 si 2 undeva intra 0 si 1.
0 este o astfel de valoare intre -1 si 2.
Deci f se anuleaza undeva intre 0 si 1.

Data viitoare se poate incerca o plotare a graficului lui f...

Radacina este cam...
(22:31) gp > solve( x=0,1, x^13 + x^7 + x - 1 )
%33 = 0.7814718593669035348560492167

Va multumesc mult. Reprezentasem grafic folosind wolframalpha,observasem ceva,dar fara cunostinte teoretice nu prea puteam forma rezolvarea,in scris. Interesanta si cat se poate de 'ochiometric-deductiva' aceasta proprietate a lui Darboux. Nu stiam de ea ).