1.Sa se arate ca daca in triunghiul ABC exista relatia b+c=2a, atunci tg(B/2)xtg(C/2)=1/2


2.Sa se arate ca intr-un triunghi ABC suma inverselor inaltimilor triunghiului este inversul razei cercului inscris in triunghi.


3.Sa se arate ca intre laturile unui triunghi ABC exista relatia abc(a+b+c)=16S^2, atunci triunghiul este echilateral.

2. Stim ca:

, deci

si analoagele. Adunand cele 3 relatii, obtinem:

, deoarece S=pr.

1. Formulele lui Neper:

,

, deci

. Inlocuind aceasta formula in tg(B/2)*tg(C/2)=1/2, obtinem:

, deci, 2p-2a=p, sau p=2a, sau a+b+c=4a, ceea ce inseamna ca b+c=3a...nu stiu care e bine...b+c=2a sau 3a...sper sa nu fi gresit eu la calcule:D.

3.Folosim formulele:

,S=pr si a+b+c=2p. Avem, deci:

si astfel relatia devine:

, deci

sau

, deci

.
Acum, dim teorema lui Euler avem ca:

si folosind R=2r, obtinem:

,deci O=I, ceea ce inseamna ca triunghiul dat este echilateral.(I- centrul cercului inscris si O-centrul cercului circumscris)