1.Sa se determine in cate moduri se poate scrie numarul 11 ca suma de termeni egali cu 1 sau 2.
2.Se considera multimea A={x natural| |x-9|<=17}
Se se determine numarul de elemente ale lui care nu se pot scrie ca suma de numere compuse nenule.
3.Sa se afle patru numere in progresie aritmetica stiind ca au suma 44 si suma inverselor este 219/280.

1. În scriere conteaz? ordinea termenilor? Adic?
2+2+2+2+2+1 e totuna cu 2+1+2+2+2+2?
3. Verifica?i v? rog datele. Eu ob?in o solutie "urât?".

2. Este numarul -1000 compus sau nu?
(Intrebarea merge mai departe la cel ce a propus sau redirijat problema...)
(Probabil ca nu... Dar atunci nu inteleg de ce problema are precizari delicate referitoare la faptul ca zero nu este numar compus...)

Daca da, atunci putem scrie 1 = 1001 + (-1000) .

Intrebare pentru inceput:
Care sunt elementele lui A?


3. Probabil ca avem de-a face cu ghicitoarea de oblojire...

[Citat] 3. Sa se afle patru numere in progresie aritmetica stiind ca au suma 44 si suma inverselor este 209 / 280.

Daca e asa, cele patru numere sunt 2, 8, 14, 20 .
(In ordinea de mai sus sau in ordinea inversa.)
Trebuie rezolvat sistemul

a + (a+r) + (a+2r) + (a+3r) = 44 ,
1/a + 1/(a+r) + 1/(a+2r) + 1/(a+3r) = 209/280 (sau cat o fi in loc) .

Daca vrem sa ne scapam mai repede si bine de unul din parametii,
luam numerele din progresie de forma
b-3p, b-p, b+p, b+3p,
dam repede de "mijlocul" b= 44/4 = 11, mai ramane sa gasim p-ul cu

1/(11-3p) + 1/(11-p) + 1/(11+p) + 1/(11+3p) = 209/280 (sau cat o fi in loc) .

Cand aducem la acelasi numitor mai sus ne legam desigur in parte de
1/(11-p) + 1/(11+p)
si
1/(11-3p) + 1/(11+3p)
si poate substituim un "p patrat" cu ceva.
Dam de numaratori egali cu 22 pentru cele doua sume de mai sus, ce bine ca 209 (dupa corectura) se divide cu 11...

[Citat] 2. Este numarul -1000 compus sau nu? (Intrebarea merge mai departe la cel ce a propus sau redirijat problema...) (Probabil ca nu... Dar atunci nu inteleg de ce problema are precizari delicate referitoare la faptul ca zero nu este numar compus...) Daca da, atunci putem scrie 1 = 1001 + (-1000) . Intrebare pentru inceput: Care sunt elementele lui A? 3. Probabil ca avem de-a face cu ghicitoarea de oblojire... [Citat] 3. Sa se afle patru numere in progresie aritmetica stiind ca au suma 44 si suma inverselor este 209 / 280. Daca e asa, cele patru numere sunt 2, 8, 14, 20 . (In ordinea de mai sus sau in ordinea inversa.) Trebuie rezolvat sistemul a + (a+r) + (a+2r) + (a+3r) = 44 , 1/a + 1/(a+r) + 1/(a+2r) + 1/(a+3r) = 209/280 (sau cat o fi in loc) . Daca vrem sa ne scapam mai repede si bine de unul din parametii, luam numerele din progresie de forma b-3p, b-p, b+p, b+3p, dam repede de "mijlocul" b= 44/4 = 11, mai ramane sa gasim p-ul cu 1/(11-3p) + 1/(11-p) + 1/(11+p) + 1/(11+3p) = 209/280 (sau cat o fi in loc) . Cand aducem la acelasi numitor mai sus ne legam desigur in parte de 1/(11-p) + 1/(11+p) si 1/(11-3p) + 1/(11+3p) si poate substituim un "p patrat" cu ceva. Dam de numaratori egali cu 22 pentru cele doua sume de mai sus, ce bine ca 209 (dupa corectura) se divide cu 11...

Cerinta este exact asa cum am scris-o si motivul pentru care am postat problema 3 este ca imi dadeau niste rezultate extrem de ``ciudate``.

[Citat] 1. În scriere conteaz? ordinea termenilor? Adic? 2+2+2+2+2+1 e totuna cu 2+1+2+2+2+2? 3. Verifica?i v? rog datele. Eu ob?in o solutie "urât?".

In legatura cu prblema 1, nu stiu daca este importanta ordinea termenilor.O colega mi-a spus ca ei i-a dat 144, dar nu mi-a spus si cum(presupun ca se accepta spre ex si 2+1+2+2+2+2 si 2+2+2+2+2+1).Dar nu inteleg modul ei de lucru.

[Citat] In legatura cu prblema 1, nu stiu daca este importanta ordinea termenilor.O colega mi-a spus ca ei i-a dat 144, dar nu mi-a spus si cum(presupun ca se accepta spre ex si 2+1+2+2+2+2 si 2+2+2+2+2+1).Dar nu inteleg modul ei de lucru.

Bine, sa rezolvam atunci doua probleme...
(E mai simplu asa decat sa cerem un enunt exact. Nu un enunt exact conteaza "in sine", ci mai mult intelegerea faptului ca enuntul asa cum vine nu este exact. On viata de zi cu zi vom avea o sumedenie de probleme inexacte, trebuie mereu sa recunoastem situatia si sa cerem... Mai sus cerem...)

Daca ordinea termenilor in scriere NU conteaza, atunci adunam in fata toti termenii egali cu 1 si vedem ca avem solutiile care corespund la...

1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1
1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+2
1+1+1+1+1+1+1+1+2+2
1+1+1+1+1+1+2+2+2
1+1+1+1+2+2+2+2
1+1+2+2+2+2+2
2+2+2+2+2+2

Acum daca consideram de exemplu diferite situatiile
1+1+2+2+2+2+2
si
2+1+2+2+1+2+2
si multele celelalte situatii,
trebuie sa ne decidem ce si cum sa facem pentru fiecare din cele 7 cazuri de mai sus, in care avem cifra 2 pusa ca sumand de 0,1,2,3,4,5,6 ori respectiv.

Deoarece 2-urile sunt mai putine ma leg de pozitiile 2-urilor la inceput.
Dar la fel de bine ma pot lega de pozitiile 1-urilor la sfarsit.

De exemplu in
2+1+2+2+1+2+2
l-am pus pe 1 pe pozitiile 2 si 5. (Sper ca e clar ce vreau sa spun.)

De aceea avem:
- In rescrierea lui
1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1
o posibilitate.

- In rescrierea lui
1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+2
11 posibilitati.
(Pozitia lui 2 pe cele 11 pozitii posibile, in rest 1-uri.)
Sau combinari de 11 luate cate 1.

- In rescrierea lui
1+1+1+1+1+1+1+1+2+2
10.9 / 2.1 = 45 posibilitati.
(Doua pozitii ale lui 2 pe cele 10 pozitii posibile, in rest 1-uri.)
Sau combinari de 10 luate cate 2.

- In rescrierea lui
1+1+1+1+1+1+2+2+2
9.8.7 / 3.2.1 = 87 posibilitati.
(Trei pozitii ale lui 2 pe cele 9 pozitii posibile, in rest 1-uri.)
Sau combinari de 9 luate cate 3.

- In rescrierea lui
1+1+1+1+2+2+2+2
8.7.6.5 / 4.3.2.1 = 70 posibilitati.
(Patru pozitii ale lui 2 pe cele 8 pozitii posibile, in rest 1-uri.)
Sau combinari de 8 luate cate 4.

- In rescrierea lui
1+1+2+2+2+2+2
7.6 / 2.1 = 14 posibilitati.
(Doua pozitii ale lui 1 pe cele 7 pozitii posibile, in rest 2-uri.)
Sau combinari de 7 luate cate 2.
(Putem sa ne legam si de 2-uri...
Cinci pozitii ale lui 2 pe cele 7 pozitii posibile, in rest 1-uri.)
Sau combinari de 7 luate cate 5. Tot una.

- In rescrierea lui
2+2+2+2+2+2
avem o posibilitate.

Adunam (cu computerul) si dam de...
(21:50) gp > sum( k=0,6, binomial( 12-k, k ) )
%31 = 233
(21:50) gp > 1 + 11 + 45 + 84 + 70 + 21 + 1
%32 = 233

[Citat] Cerinta este exact asa cum am scris-o si motivul pentru care am postat problema 3 este ca imi dadeau niste rezultate extrem de ``ciudate``.

Da, toata lumea are rezultate ciudate.
(In astfel de cazuri este bine sa stim si noi de la inceput de unde e problema, ce incercari s-au facut, care e sursa si cata incredere merita ea, care este miza pe problema - tema, examen, incercare asidua de intelegere... Altfel vine foarte usor contra-intrebarea... Toate lucrurile in viata trebuie sa aibe un rost=sens si o finalitate!)

Si acum ce facem, tiparim in latex raspunsul urat sau consideram problema rezolvata prin nerezolvare?!