Cum se calculeaza limita

II-2-e

http://mate.info.ro/MaterialDescription.aspx?ID=645


Multumesc,

Ne ajuta si pe noi cineva?

Multumim anticipat!

[Citat] Ne ajuta si pe noi cineva?

Cu pl?cere, dar posta?i problema!

Problema se pare ca vine de pe un site cu reclame la multe lucruri colorate.
Singurul lucru greu de gasit este acel loc de coborat un fel de pdf care este un scan-pdf care vine de pe un scan aburit.

Este chiar mult mai simplu de scris in cuvinte aici ce se da si ce se cere, literele nu se vad bine, cred ca este o fapta intentionata a celor cu scan-ul...

Solutia este oricum mai scurta decat cele de sus.

Avem de calculat limita dupa n spre oo di
integrala de la zero la unu din
( x la puterea n ) supra (xx+3x+2)
dupa x.

(Nu stim / intelegem desigur inca teorema de convergenta dominata a lui Lebesgue. Daca am sti-o / intelege-o, am sti cam ce fel de minorare / majorare este de dorit. Iat-o...)

Numitorul g(x) = xx+3x+2, g de la IR la IR, nu se anuleaza pe [0,1] (ci undeva "departe"). Numitorul este deci pozitiv pe [0,1] si il putem incadra intre g(0) si g(1).
Atunci toata functia (pozitiva) de sub intagrala o putem incadra intre
x^n / g(0) si x^n / g(1) .
Calculam cele doua integrale (dependente de n) de incadrare si vedem ca avem un cleste bun.

Mi-am pus ochelarii si am vazut ca am rezolvat de fapt punctul (c) in loc de (e).

Punctiul (e) cred ca vrea lucrul urmator de la noi:

Nota: La punctul (d) problema a vrut de la noi sa demonstram ceva de forma
I(n+2) + 3I(n+1) + 2I(n) = 1/(n+1) .

(Lucru care se demonstreaza imediat, suma de integrale o facem prin liniaritate o integrala, simplificam cu numitorul si avem de integrat x^n de la 0 la 1 .)

Inmultim mai sus cu (n+1).
Sa zicem ca stim ca exista limita de la (e) si este egala cu L .
Atunci (n+1)I(n+2) tinde la L. (Cu acelasi argument ca mai sus la sfarsit...)
Si (n+1)I(n+1) tinde tot la L.
Si (n+1)I(n) tinde tot la L.

Trecem la limita in... si obtinem
L +3L +2L = 1.
Nu este o solutie, dar este in orice caz un mod de a "vedea" (a posteriori) acel 1/6.


Tema de casa:
Exista limita urmatoare? (Daca da, ce valoare are ea...)

(Tema de casa este obligatorie... Nu m-am legat de nici un fel de generalizare, asa ca sper ca se vede ce lucruri modeste cer...)