Fie patrulaterul ABCD. Fie G1 centrul de greutate al triunghiului ABC, G2 centrul de greutate al triunghiului ABD, G3 centrul de greutate al triunghiului ACD iar G4 centrul de greutate al triunghiului BCD. Demonstrati ca dreptele AG4, BG3, CG2, DG1 sunt concurente intr-un punct M. Demonstrati ca G4M / AG4 =...= MG1 / DG1. Este o problema care am descoperit-o jucandu-ma in GeoGebra. Observ, de asemenea, ca configuratia este identica cu cea a tetraedrului.

Orice solutie de orice nivel e bine venita!

[Citat] Fie patrulaterul ABCD. Fie G1 centrul de greutate al triunghiului ABC, G2 centrul de greutate al triunghiului ABD, G3 centrul de greutate al triunghiului ACD iar G4 centrul de greutate al triunghiului BCD. Demonstrati ca dreptele AG4, BG3, CG2, DG1 sunt concurente intr-un punct M. Demonstrati ca G4M / AG4 =...= MG1 / DG1. Este o problema care am descoperit-o jucandu-ma in GeoGebra. Observ, de asemenea, ca configuratia este identica cu cea a tetraedrului.

Mai intai o figura cu mai sus amintita GeoGebra:



Uploaded with ImageShack.us

Punctul de intersectie al dreptelor din enunt, notat pe figura cu I, este punctul de intersectie al diagonalelor trapezelor AG3G4B, BG2G3C, CG1G2D, DG4G1A, si este situat pe fiecare din aceste diagonale la o treime de baza mica si doua treimi de baza mare.(Din proprietatea centrului de greutate si asemanare de triunghiuri)

Revin cu o corectura: I este la un sfert de baza mica si trei sferturi de baza mare.

[Citat] Fie patrulaterul ABCD. Fie G1 centrul de greutate al triunghiului ABC, G2 centrul de greutate al triunghiului ABD, G3 centrul de greutate al triunghiului ACD si G4 centrul de greutate al triunghiului BCD. Demonstrati ca dreptele AG4, BG3, CG2, DG1 sunt concurente intr-un punct M. Demonstrati ca G4M / AG4 = ... = MG1 / DG1. Este o problema care am descoperit-o jucandu-ma in GeoGebra. Observ, de asemenea, ca configuratia este identica cu cea a tetraedrului.

Mai vin doua solutii...

(1) Prima este algebrica si oarba. Fie a,b,c,d afixele punctelor A,B,C,D.
Scriem corespondentele asa:
A -> a
B -> b
C -> c
D -> d
(Numere complexe. Sau in alta interpretare la fel de buna, pentru ca nu inmultim numere complexe curand decat cu scalari, vectorii ce corespund scrierilor OA, OB, OC, OD, unde O este un punct ales de noi la intamplare. In acest mod vedem din prima si problema din spatiu, tot a fost pomenita legatura cu generaliarea in spatiu.)

Atunci avem formule algebrice pentru toate punctele date scrise cu ajutorul literelor a,b,c,d.

G1 -> g1 = (a+b+c)/3 . (Vectorial intelegem O G1 = (1/3)( OA + OB + OC )...)
G2 -> g2 = (a+b+d)/3 .
G3 -> g3 = (a+c+d)/3 .
G4 -> g4 = (b+c+d)/3 .

Sa notam cu X punctul ce corespunde lui x = (a+b+c+d)/4 .

Ne uitam la a, x si g1 si incercam sa vedem o dependenta liniara.
Aceasta este destul de repede vazuta, deoarece
a+b+c = 3g1 si
a+b+c = 4x-a .
Deci 3g1 = 4x-a . Rescriem:
x = (3/4) g1 + (1/4) a .
Deci x se afla la o patrime distanta de g1 si la trei patrimi distanta de a pe segmentul de la g1 la a. (Aceasta este deoarece 3/4 si 1/4 sunt ponderi, suma este unu.)

La fel si cu celelalte. M este deci X, centrul de greutate...

(2) A doua solutie este (aceeasi, dar) mecanica.
(Nu este pentru cei ce au in craniu 25 de oase suplimentare pentru a putea gandi mecanic, ci totusi o solutie cu un sambare de adevar, creativa, cumva altfel, este cea preferata de fizicieni in orice caz. Este aceeasi ca cea ce trebuie priceputa pentru "aceeasi problema" cu trei puncte in plan, in loc de patru in spatiu... Asa se intelege cel mai uman concurenta medianelor intr-un triunghi... Si acum la problema)

Luam punctele A,B,C,D ca in problema in plan sau in spatiu.
In fiecare plasam o masa de 1kg.

Incercam sa depistam centrul de greutate.
Putem (din punct de vedere mecanic) sa inlocuim configuratia data cu una cu
masa de 1kg in A si cu masa de 3kg in centrul de greutate G1 al triunghiului BCD. Ne uitam acum la centrul de greutate G al segmentului [ A G1 ] ponderat cum trebuie la varfuri. Desigur ca centrul G se afla pe acest segment, anume de trei ori mai departe de A decat de G. (Literatura: Doi pe-un balansoar de William Gibson.) Deci G se se afla la o patrime de G1 si la trei patrimi fata de A.

Acelasi G se afla si pe celelalte segmente...