Se considera matricea A=
( 1 2)
(0 1)
Determinati toate matricele X e M2(R) cu proprietatea X^2=A

Am considerat matricea X=
(a b)
(c d)
am calculat X^2=
( a^2+bc b(a+d) )
( c(a+d) bc+d^2)
apoi am egalat X^2=A
si am ajuns la sistemul


a^2+bc=1
b(a+d)=2
c(a+d)=0
bc+d^2=1

si de aici nu am mai stiut

Undeva sta si linia
c(a+d)=0

Care factor se poate anula?
Care este urmatorul pas? (Rezolvam mai departe impreuna, daca nu este totul clar...)

Nota:
Care este determinantul matricii date?
Matricea pe care o cautam ce determinant poate avea?

c se poate anula cred.
det A =1

[Citat] c se poate anula cred. det A =1

c trebuie sa se anuleze,
deoarece
unul din cei doi factori trebuie sa se anuleze
si
daca s-ar anula celalalt factor,
atunci a doua ecuatie nu mai are nici o sansa.

Bun, deci c=0.

Din

a^2+bc=1
b(a+d)=2
c(a+d)=0
bc+d^2=1

mai ramanem doar cu

a^2 = 1
b(a+d) = 2
d^2 = 1

De aici
a poate fi doar -1 sau 1,
d poate fi doar -1 sau 1,
desigur ca a+d este nenul,
EDIT:
deci cand a=1 avem d=-1 si cand a=...
deci cand a=1 avem d=1 si cand a=-1...

Care sunt deci toate solutiile?

Tinand cont de faptul ca pentru o solutie X a ecuatiei (matriceale) XX = A
avem det(X)^2 = det(X^2) = det(A) = 1
ne asteptam sa dam doar de solutii X cu determinantul fie -1 fie 1.
In cazul de fata, nota nu ne ajuta (prea mult - e aceeasi informatie cu cea din a+d nenul), dar in general...

[Citat] desigur ca a+d este nenul, deci cand a=1 avem d=-1 si cand a=...

?

[Citat] ?

b(a+d)=2

Cer scuze, am scris totul orb... acum abia am vazut ca nu am evitat cazul cu suma nula, ci l-am fortat! Editez mai sus...