salutare la toti . am o rugaminte daca ma poate ajuta sa rezolv problema aceasta ca am nevoie urgent de rezolvarea ei ...ca nu prea am facut laboratorul la acest obiect ...Va multumesc .

[Citat] salutare la toti . am o rugaminte daca ma poate ajuta sa rezolv problema aceasta ca am nevoie urgent de rezolvarea ei ...ca nu prea am facut laboratorul la acest obiect ...Va multumesc .

Trebuie sa incercam impreuna, altfel nu este nici o sansa...
(a)
In primul rand consideram functia continua
f: IR -> IR
definita prin formula
f(x) = exp(-x) - x .

Punctul (a) vrea sa aratam ca avem o anulare undeva.
Ne legam si de unicitate apoi...

De aceea calculam
f(0) = exp(-0) - 0 = 1 > 0,
f(1) = exp(-1) - 1 = 1/e - 1 < 0 .

Deoarece f are proprietatea lui Darboux, exista (cel putin) o solutie
a
intre 0 si 1
pentru ecuatia f(x) = 0 .

Unicitatea?
Ne uitam la derivata
f'(x) = -exp(-x) -1
si vedem ca este <0 pe toata axa reala, deci f este o functie *strict* descrescatoare, deci anularea are loc doar intr-un punct.

Daca tot suntem aici, folosesc PARI/GP ca sa vedem cu ochiul liber unde este punctul.

(19:11) gp > f(x) = exp(-x) - x
(19:15) gp > solve( x = 0,1, f(x) )
%1 = 0.5671432904097838729999686622
(19:15) gp >
(19:15) gp > \p 100
realprecision = 105 significant digits (100 digits displayed)
(19:16) gp > solve( x = 0,1, f(x) )
%2 = 0.5671432904097838729999686622103555497538157871865125081351310792230457930866845666932194469617522946


(b) Nu stiu ce este aceasta constanta de eroare asimptotica.
In orice caz, daca ne legam de functia
g : IR -> IR
g(x) = exp(-x) ,
atunci
g'(x) = -exp(-x)
deci local pe intervalul ( 1/100 , oo ) putem majora modulul derivatei (uniform) cu
exp(-1/100) < 1 ,
de aceea teorema de punct fix a lui Banach ne asigura convergenta, daca plecam cu un punct din acest interval si iteram.


Daca plecam cu un punct x(0) din ( 1/2, oo ),
putem sa ne legam chiar de o constanta mai mica, exp(-1/2) . In fine.

(Cel ce a scris problema a vrut sa scrie ceva de forma
x(n+1) = exp( -x(n) )
desigur.)

Iata care sunt primele iteratii daca plecam cu punctul 1.

(19:31) gp > g(x) = exp(-x)
(19:31) gp > a = 1.
%4 = 1.000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
(19:31) gp > for( k=0,10, print( "x(",k,") ~ ", a ); a=g(a) )
x(0) ~ 1.000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
x(1) ~ 0.3678794411714423215955237701614608674458111310317678345078368016974614957448998033571472743459196437
x(2) ~ 0.6922006275553463538654219971827897614906780292975447359389148999651715590290853621230123876493530983
x(3) ~ 0.5004735005636368405451349013379045728034532153422830064979093527837573211626143344351065082650965759
x(4) ~ 0.6062435350855973464459726619736717493798836898369935842613244588910098279249004363668726998889202391
x(5) ~ 0.5453957859750270026106431656323495173639852900231456422560013211383102152509622118004473015611006911
x(6) ~ 0.5796123355033788371198583509393710783884210076854600890546219989076417671150401523944651690070563201
x(7) ~ 0.5601154613610891464408740639222935949942659677763613542937632725938926927263748961067530751047579415
x(8) ~ 0.5711431150801770042110742399397976530773834239634162135892412474826185274964029470368873689319403384
x(9) ~ 0.5648793473910495008167603250217543923824455231073641790440459229725050582540658902598601448275830810
x(10) ~ 0.5684287250290607468947299410473532128159207364484548238327290410172621503557973753816958579288287703
(19:31) gp >


(c) Ilustrarea grafica este desenul unei panze de paianjen, intre prima bisectoare si graficul functiei, nu pot aici.
Demonstratia este clara. Daca ne dam un x(0)>0, il putem incadra in
( x(0)/2 , oo )
si aplicam teorema de punct fix a lui Banach pe intervalul de mai sus,
functia g
si constanta exp( -x(0)/2 ) care este buna (fiind strict mai mica decat 1 si majorand g' global pe intervalul pe care tocmai aplicam..).

(d) Omul asta chiar trebuie sa invete sa scrie iteratiile...
Derivata functiei -ln care se afla pe partea dreapta a formulei de recursiune (in forma corecta)
-ln x = ln(1/x), desigur,
are derivata in x egala cu -1/x, luata in modul in punctul fix 0.56... ne da ceva mai mare ca 1. Local, (folosind teorema lui Lagrange de exemplu) vedem ca distanta intre iteratii fie scapa din localitate, fie mareste distantele...


Daca sunt intrebari...
(Data viitoare rog a se insera cod latex...)