Subiectul 1b)Care sunt ultimele doua cifre ale lui

?
1d)Care este inversul lui

in grupul

?
Subiectul 3: Fie triunghiul ABC echilateral si M un punct in interiorul sau.Fie A1, B1 si C1 proiectiile lui M pe laturile BC, CA si AB.
a)Sa se arate ca suma MA1+MB1+MC1 este constanta
b)Sa se arate ca suma BA1+CB1+AC1 este constanta
c)Sa se determine pozitia punctului M pentru care aria triunghiului A1B1C1 este maxima.
a) l-am facut cu aria lui ABC=suma ariilor triunghiurilor MBC, MAC si MAB.Dar b, c?

7*29=203
deci inversul lui 7 este 29 in Z101

[Citat]

(1b)
Numarul 42^122 este usor calculabil...
(20:48) gp > 42^122
%18 = 10874603436970518786686629780163887807924280993545724387651408055
99857479990261101777721668565772756018496423277473823774794211107525091
546524384084751721528411909262515408517496092828685755601649664

L-am rupt...
Si acuma solutia umana.
Vrem ultimele doua cifre.
Deci vrem N modulo 100.
N este o putere mare. Am vrea sa aplicam ceva de forma Fermat sau Euclid.
Baza nu este prima cu 100.
De aceea spargem problema in mod chinezesc.
Cautam resturile lui N la 4 si la 25.

N se divide desigur cu 4. Bun.
N modulo 25... indicatorul lui Euler pentru 25 este 20.
Deci 42^(Multiplu de 20) este 1 modulo 25,
(20:54) gp > 42^20 % 25
%19 = 1
Deci trebuie sa calculam 42^2 modulo 25. (122 da restul 2 impartit la 20.)
Dam de

(20:54) gp > 42^2 % 25
%20 = 14

Mai ramane sa gasim numarul de la 0 la 99 care se divide cu 4 si care da restul 14 la impartirea cu 25. Care dintre numerele
0+14, 25+14, 50+14, 75+14 se divide cu 4?
Desigur ca 50+14=64.
Da, mai sus vedem ca numarul N se termina in 64.


(1c)
Este clar ca problema vrea sa rezolvam ecuatia diofantiana liniara
7x + 101y = 1
sau sa cerem solutia unui computer:
(21:16) gp > 1/Mod(7,101)
%21 = Mod(29, 101)

Sa incercam si uman.

Solutia umana se leaga de scrierea ca fractie continua a fractiei
101 / 7 .
Avem 101 / 7 = 14 + rest, restul este 3, deci
101/7
= 14 + 3/7
= 14 + 1/(7/3)
= 14 + 1/(2 + 1/3)
Vedem scrierea [14,2,3] . Ne legam de fractia apropiata (redusa...)
[14,2]
care este explicit
14 + 1/2 = 29/2 .

Acum ramane sa calculam diferenta
101/7 - 29/2 = numarator / numitor(comun)
si sa vedem ce avem in numarator.


(3)
Triunghiul acum..

(b) Solutia care mi-a venit prima este urmatoarea.
Ne luam un M undeva in interiorul triunghiului.
Ducem perpendiculara din M pe AB. Partea din interior determina un segment, PQ sa zicem. (Notatie.)

Pentru toate punctele de pe PQ vedem ca proiectia pe AB este aceeasi.
Cum se modifica functia de M (pe care trebuie sa o dovedim constanta) daca il moscam / deformam pe M?

Mai luam un M' pe PQ.
Sa zicem ca M este intre M' si proiectia lui M pe BC (notata poate cu Q, ca sa nu avem dubii).

Ducem paralela prin M la BC si comparam.
Ne-am redus la o problema mai simpla... Sper ca este clara rezoplvarea de aici.

(c) Luam un M si proiectam.

Sa notam cu p,p' cele doua segmente ce pleaca din A determinate de M si o proiectie.

Sa notam cu q,q' cele doua segmente ce pleaca din B determinate de M si o proiectie.

Sa notam cu r,r' cele doua segmente ce pleaca din C determinate de M si o proiectie.

Alegem p,p', q,q', r,r' in sensul celor de la (b) astfel incat sa avem
p+q+r = p'+q'+r' = 3a/2 .

Sa zicem ca stim sa scriem aria unui triunghi folosind produsul a doua (lungimi de) laturi alaturate si...

Atunci repede vedem ca trebuie sa maximizam
pp' + qq' + rr' .

Sper ca de aici lucrurile transpar.

Imi cer scuze pentru insistenta, dar ati putea posta o mica schita pentru problema 3 b)? Multumesc.

Pentru solutia alternativ? de mai jos nu prea e nevoie de poz?.

Va multumesc.

Multumesc, dar mi-ar prinde bine si la 3c) o rezolvare mai explicita.

Foarte frumos!
Multumesc.