Aratati ca, daca p e un numar prim impar diferit de 5, atunci

sau

.

Problema am gasit-o aici:http://www.mateinfo.ro/problema_saptamanii%20_concurs_matematica_web/mai2010/mai2010_stanciu_n/MAI2010_stanciu_n.xht, dar nu inteleg rezolvarea (TEOREMA 16).

Ce este

?

[Citat] Aratati ca, daca p e un numar prim impar diferit de 5, atunci sau . Problema am gasit-o aici: http://www.mateinfo.ro/problema_saptamanii _concurs_matematica_web/mai2010/mai2010_stanciu_n/MAI2010_stanciu_n.xht, dar nu inteleg rezolvarea (TEOREMA 16).

Rezultatul ceva mai fin este aici:
http://en.wikipedia.org/wiki/Fibonacci_number#Prime_divisors_of_Fibonacci_numbers

Ce nu este clar sau usor de urmarit in rezolvarea respectiva?
(La obiect, vom dizolva impreuna orice neclaritati!)

Cu (p-1) peste n s-a notat coeficientul binomial corespunzator.
Acesta este (p-1)! supra produsul n! (p-1-n)! ,
rescris drept fractia (p-1)(p-2)...(p-1-n+1) supra n! .
(S-a simplificat cu un factorial din numitor.)

Deoarece
(p-1) este (-1) modulo p,
(p-2) este (-2) modulo p,
...
(p-n) este (-n) modulo p,
stiind ca fractia este un numar natural,
rezulat luand relatia din ZZ obtinuta inmultind cu numitorul ...

Apoi combinari de p+1 luate cate n...
scriem formula si incercam sa vedem in ce cazuri factorul p din numarator se poate simplifica cumva...

Cele ce urmeaza reprezinta o coagulare de formule, este drumul scris de cineva care a inteles aritmetica din corpul de numere Q[ radical(5) ] pentru cineva care poate ca nu are inca voie sa stie de asa ceva.

Daca mai sunt intrebari, cu incredere!

Multumesc pentru raspuns! In rezolvarea din pagina pe care am postat-o eu am inteles lemele(si rezolvarile), insa mai incolo nu am mai inteles nimic. Mie imi apar doar cifre, semnele +,-,(,), si nu imi pot da seama de relatii cum s-ar scrie normal. Asa ca v-as ruga sa imi scrieti relatiile care sunt scrise dupa cele 2 leme. VA MULTUMESC!

[Citat] Multumesc pentru raspuns! In rezolvarea din pagina pe care am postat-o eu am inteles lemele(si rezolvarile), insa mai incolo nu am mai inteles nimic. Mie imi apar doar cifre, semnele +,-,(,), si nu imi pot da seama de relatii cum s-ar scrie normal. Asa ca v-as ruga sa imi scrieti relatiile care sunt scrise dupa cele 2 leme. VA MULTUMESC!

Inca nu inteleg ce nu este clar.
Sa luam p = 19 ca sa vorbim la obiect.

Cum stau lucrurile de fapt?
(19:44) gp >
(19:54) gp > fibonacci(18) / 19
%1 = 136
(19:57) gp > fibonacci(20) / 19
%2 = 6765/19

bun, ma astept sa pot sa arat ca f(18) se divide cu 19.
Solutia merge asa in acest caz particular:

in primul rand, omul afirma ca
2^17 * fibonacci(18)
da acelasi rest la impartirea cu 19 ca si
18 - ( 5 + 25 + ... + 5^8 ) .
Sa vedem,
%10 = 356
(19:45) gp > 2^17 * fibonacci(18) % 19
%11 = 0
(19:49) gp > ( 18 - sum(k=1,8, 5^k) ) % 19
%12 = 0

Da, avem chiar restul 0.
Pasul acesta trebuie inteles odata cu lema citata.
Ce am castigat daca rescriem / inlocuim un lucru cu altul?
Am castigat faptul ca inlocuim o expresie mai greu calculabila cu una in care dam de o "suma geometrica", pentru aceasta avem o formula... apropiata de teorema mai mica a lui Fermat.

in al doilea rand, omul afirma ca
2^19 * fibonacci(20)
da acelasi rest la impartirea cu 19 ca si
19 +1 + 5^9 .
Sa vedem,
(19:50) gp > 2^19 * fibonacci(20) % 19
%14 = 2
(19:54) gp > ( 19 +1 + 5^9 ) % 19
%15 = 2

Da, asa este. Din nou suntem in pozitia de a aplica Fermat.

Acum omul inmulteste si aplica Fermat.

In acest exemplu,
care este locul (pomenit sau nu de mine)
in care sunt lucruri neclare?

[Citat] Cele ce urmeaza reprezinta o coagulare de formule, este drumul scris de cineva care a inteles aritmetica din corpul de numere Q[ radical(5) ] pentru cineva care poate ca nu are inca voie sa stie de asa ceva. Daca mai sunt intrebari, cu incredere!

Imi puteti explica, va rog, aceasta parte, deoarece eu nu inteleg ce este scris in pagina pe care am postat-o. Mie imi apare exact asa: (deci nu imi pot da seama unde e ridicare la putere, indici, radical, fractie, etc.)

Din teorema 2. avem:
f n = 1 2 n?1 (( n 1 )+5( n 3 )+ 5 2 ( n 5 )+...+ 5 n?2 2 ( n n?1 )) .
Din lema 1.,
2 p?2 f p?1 ?p?1?(5+ 5 2 +...+ 5 p?3 2 )?? 5 p?1 2 ?1 4 modp .
Din lema 2.,
2 p f p+1 ?p+1+ 5 p?1 2 ?( 5 p?1 2 +1)modp.
Din cele doua relatii de mai sus obtinem:
2 2p f p?1 f p+1 ??( 5 p?1 ?1)modp .
Din mica teorema a lui Fermat, 5 p?1 ?1mod p , pentru p?5 si teorema este demonstrata

Cu alte cuvinte, imi puteti scrie, va rog, ce este scris cu rosu in limbaj LATEX? Va multumesc!

[Citat] Cu alte cuvinte, imi puteti scrie, va rog, ce este scris cu rosu in limbaj LATEX? Va multumesc!

De ce nu contacta?i direct autorul acelui articol? E dat? adresa de mail a acestuia.

Mi-a luat o vreme sa scriu...

Ajuta asa ceva?

Am un sfat care este bine intentionat: Matematica trebuie facuta si inteleasa din surse solide, scrise coerent si nefragmentat, in care matematica sa fie prezentata ca o unitate, nu ca o adunatura de fapte disparate. Pagina de mai sus este o astfel de pagina. Efortul de a intelege cele de pe pagina este mai mult decat laudabil. Daca pagina este cumva fixata de cine stie ce examen sau pariu sau ceva asemanator, dar la fel de constrangator, atunci efortul de intelegere si al meu de raspuns este degeaba. Daca pagina ati ales-o de buna voie, va rog ca data viitoare sa alegeti cu mai mult gust. Stiu ca este putina literatura matematica scrisa in limba romana, aici incercam sa mai scriem cateva litere si noi. In orice caz, cand este vorba de teoria numerelor exista surse libere ESTETICE care trebuie citite mai intai. Criteriul estetic este cel de urmat in teoria numerelor.

Eu as prefera de exemplu sa ma uit pe:

http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/fibmaths.html
http://math.ucsd.edu/~erickson/research/pdf/fibonacci3.pdf (cu aceeasi demonstratie sugerata...)
http://www.fq.math.ca/Scanned/4-3/halton.pdf
http://www1.math.american.edu/People/kalman/pdffiles/fibpaper.pdf
http://www.uni-math.gwdg.de/tschinkel/gauss/Fibon.pdf (criteriul estetic nu este satisfacut, dar se vede in ce directie merge cercetarea ... eu prefer alte drumuri in matematica)
http://www.fq.math.ca/Scanned/12-2/hoggatt1.pdf
http://www.math.temple.edu/~renault/fibonacci/ (teza, html-ul vine cu caractere ciudate la mine, dar ps-ul e bun.)


http://people.hws.edu/ahmed/fibonaccipdf.pdf Pentru cei ce - ca si mine - incearca sa picteze in timpul liber...


http://www.math.uiuc.edu/documenta/vol-coates/silverman.pdf Pentru cei ce vor sa vada un stil bun de publicare, de prezentare si de inteleger a matematicii.

Multumesc frumos pentru raspuns!
Totusi, acum imi dau seama ca in pagina postata de mine, era rezolvat un alt exercitiu (nu imi pare rau ca l-am gasit, deoarece este interesant (ca si rezolvarea lui)). Prin urmare, multumesc din nou pentru ca mi-ati "tradus" acele randuri si as ruga sa se incerce si o rezolvare a problemei propuse de mine. (-1, respectiv +1 nu sunt la indici)
E posibil sa fie ceva material ca ajutor si in ce mi-ati dat dvs., dar o sa ma uit maine peste ele .

Am gasit solutia si pentru problema mea. Pe langa problema demonstrata in pagina postata de mine (

sau

) mai folosim faptul ca

, pentru n-impar si problema e terminata. Va multumesc inca o data pentru ajutor si pentru paginile postate despre sirul lui Fibonacci.

Totusi, as continua intrebarile despre sirul lui Fibonacci cu o teorema care este doar enuntata intr-ul material postat mai sus (nu prea am idei de rezolvare):
Daca

, atunci

, unde n,p,k sunt numere naturale nenule.