Trebuie demonstrat ca

Calculand prin parti, am constatat ca integrala este egala cu

. Am luat separat noua integrala, am aplicat de 2 ori parti si am dedus urmatoarea relatie de recurenta:

Trecand la limita in relatia de recurenta (presupunand deci faptul ca sirul integral

este convergent), am obtinut limita infinit. Deci sirul are limita, dar este divergent.
Aveam atunci voie sa trec la limita in relatia de recurenta? Exista un mod de a demonstra ca un sir dat printr-o relatie de recurenta are limita, cu toate ca nu este convergent?
Multumesc mult pentru sugestii.

Numeric lucrurile nu se verifica:
(20:55) gp > J(n) = intnum( x=0,Pi, x^(n+1) *cos(x) )
(20:56) gp > J(0)
%1 = -2.000000000000000000000000000
(20:56) gp > J(1)
%2 = -6.283185307179586476925286767
(20:56) gp > J(2)
%3 = -17.60881320326807585650347300
(20:56) gp > Pi^2-2*(2-1)*J(0)
%4 = 13.86960440108935861883449100

Daca avem o relatie de recurenta, mai putem sa vedem de ce natura...

[Citat] Trebuie demonstrat ca Calculand prin parti, am constatat ca integrala este egala cu . Am luat separat noua integrala, am aplicat de 2 ori parti si am dedus urmatoarea relatie de recurenta: Trecand la limita in relatia de recurenta (presupunand deci faptul ca sirul integral este convergent), am obtinut limita infinit. Deci sirul are limita, dar este divergent. Aveam atunci voie sa trec la limita in relatia de recurenta? Exista un mod de a demonstra ca un sir dat printr-o relatie de recurenta are limita, cu toate ca nu este convergent? Multumesc mult pentru sugestii.

Am cautat sa gasesc o solutie pe care sa o povestesc cat se poate de usor.
Cam asa ar putea sa fie una.

In primul rand problema cere ceva foarte "moderat", anume sa aratam ca o anumita integrala ce depinde de n tinde la -oo pentru n spre oo.
Nu este vorba despre problema mai "ambitioasa" legata de un calcul explicit al integralei.

In astfel de cazuri, se recomanda o "evaluare" (asimptotica) a integralei, putem fi generosi in evaluare (minorare / majorare de la caz la caz), daca nu pierdem "partea care da tonul".

Iata ce se poate face in cazul nostru.

In primul rand vedem ca pe bucata de la 0 la 1 functia de sub integrala este intre -1 si 1 (chiar si intre 0 si 1 daca chiar trebuie), in orice caz, aceasta parte din integrala contribuie cu ceva constant la acel "-oo" care va fi la sfarsit.

Apoi, deoarece functia cos este simetrica fata de punctul pi/2, este natural sa punem urmatoarele puncte pe axa:

0---------1----pi/2-------------(pi)

Apar in acest mod patru intervale.
Else unt doua cate doua simetrice fata de pi/2, ceea ce explica pozitia lui .

Considerm integrala functiei date pe cele patru bucati si notam cu
I1, I2, I3, I4
(expresii ce mai depind de n)
cele patru bucati de integrala.

Pentru orice n, partea din I1 este marginita.
Deoarece puterea corespunzatoare a lui x in puncte simetrice fata de pi/2 este usor de comparat, este mai mare dincolo de pi/2 si mai mica dincoace,
(sau majoram partea de la 1 la pi/2 cu pi/2, acolo unde ne vine puterea lui x, partea de la pi/2 la simetricul lui 1 fata de pi/2 o minoram cu pi/2...)
putem sa vedem ca I2+I3 este ceva negativ.

Ramane sa ne legam de I4.
Desigur ca I4 scapa mult sub
^(n+1) * cos
un numar negativ, care depinde de n si tinde exponential cu n spre -oo.

Am terminat.