Problema: Într-o pung? sunt bomboane. Dac? bomboanele se împart în mod egal unui grup de 4 copii, atunci r?mân în pung? 3 bomboane. Dac? bomboanele se împart în mod egal unui grup de 7 copii, atunci r?mân în pung? 6 bomboane.
Cerin?e: a)Verifica?i dac? în pung? pot fi 55 de bomboane.
b)Care poate fi cel mai mic nr. de bomboane din pung?, înainte ca acestea s? fie împ?r?ite copiilor?

Prima cerin?? am f?cut-o, dar cea de-a doua nu a ie?it.
Rog s? se ofere o explica?ie mai simpl?, de nivelul clasei a 8-a, iar dac? se poate s? îmi explica?i v? rog cum s? transpun o problem? practic? în ecua?ie, pentru c? am auzit c? asta conteaz? mult la examenul de admitere la liceu.
Ziua bun?

[Citat] Problema: Într-o pung? sunt bomboane. Dac? bomboanele se împart în mod egal unui grup de 4 copii, atunci r?mân în pung? 3 bomboane. Dac? bomboanele se împart în mod egal unui grup de 7 copii, atunci r?mân în pung? 6 bomboane. Cerin?e: (a) Verifica?i dac? în pung? pot fi 55 de bomboane. (b) Care poate fi cel mai mic nr. de bomboane din pung?, înainte ca acestea s? fie împ?r?ite copiilor? Prima cerin?? am f?cut-o, dar cea de-a doua nu a ie?it. Rog s? se ofere o explica?ie mai simpl?, de nivelul clasei a 8-a, iar dac? se poate s? îmi explica?i v? rog cum s? transpun o problem? practic? în ecua?ie, pentru c? am auzit c? asta conteaz? mult la examenul de admitere la liceu. Ziua bun?

Izolarea (economica) a partii matematice dintr-o problema "cu mult text" este intr-adevar un lucru important (in examene si in viata), mai ales in unele tari (Germania, USA) cu invatamant axat pe "practica si libertatea de gandire a elevului", tari care acorda traducerii textului intr-o formula ponderea de 50% (si mai mult) . Este clar ca cealalta jumatate ramasa nu are voie sa depaseasca un cadru natural.

Aceasta traducere este importanta in viata, deoarece de cele mai multe ori omul trebuie sa stie sa-si adune toate ingredientele necesare.

In conditii de examen, lucrurile nu sunt atat de importante din punct de vedere uman / intelectual, dar ele sunt importante pentru a aduna puncte si a trece de probleman. Fiind primul pas, trebuie facut ceva, altfel se pierd toate punctele. Problemele "cu text" pot des sa induca in eroare, enuntul lasa de multe ori cateva porti deschise. Alte dati enuntul nu sta in picioare logic, desi este clar ce trebuie extras algebric.

In cazul de fata, izolarea are urmatorii pasi.
Ne uitam ce numar / care numere controleaza tot ce seintampla in problema.
Este clar ca avem nevoie de o variabila pentru numarul de bomboane.
Eu o notez cu N, atatea bomboane au fost in punga inainte de orice operatie.

Acum, translatarea celr date (ipoteza, fara cerinte de rezolvare) este simla:
Restul impartirii lui N la 4 este 3.
Restul impartirii lui N la 7 este 6.

Efortul de traducere este atunci 30% pana la 60% (din "tot") pentru cei ce nu au vazut sau chiar rezolvat probleme de divizibilitate, sub 20% pentru cei ce au mai vazut astfel de trageri la tema. Problema este una construita, asa ceva nu apare in viata de zi cu zi, cu alte cuvinte mai intai a existat problema de matematica, una standard, legata de "lema chineza a resturilor",
[url]http://ro.wikipedia.org/wiki/Teorema_chinezeasc?_a_resturilor
apoi ea a fost impachetata (folosind bomboane si copii, chestie de gust) ca problema cu text.

Sa vedem daca 55 verifica cele doua cerinte.
55 = 52 + 3 = 13x4 + 3, da restul impartirii lui 55 la 4 este 3.
55 = 49 + 6 = 7x7 + 6, da restul impartirii lui 55 la 7 este 6.

Cautam un numar mai mic, N, cu aceleasi proprietati.
Trucul este unul cunoscut in rezolvarea de ecuatii.
Vrem sa "comparam cu zero" de cele mai multe ori.
In cazul de fata este un alt "zero", dar ideea e aceesi.

Daca N este o solutie mai mica, atunci observam ca diferenta
55 - N
este divizibila atat cu 4 cat si cu 7.

Care sunt "primele" numere naturale divizibile atat cu 4 cat si cu 7?
Cum ne putem aranja cu 55 - N ?
Care este solutia?

[Citat] Problema: Într-o pung? sunt bomboane. Dac? bomboanele se împart în mod egal unui grup de 4 copii, atunci r?mân în pung? 3 bomboane. Dac? bomboanele se împart în mod egal unui grup de 7 copii, atunci r?mân în pung? 6 bomboane. Cerin?e: a)Verifica?i dac? în pung? pot fi 55 de bomboane. b)Care poate fi cel mai mic nr. de bomboane din pung?, înainte ca acestea s? fie împ?r?ite copiilor?

Not?m num?rul bomboanelor cu x.

Dac? împ?r?im bomboanele la 4 copii, r?mân 3 bomboane (în pung?).

Atunci, gândim c? ar fi fost suficient s? mai ad?ug?m o singur? bomboan? în

pung?, pentru a reu?i s? împ?r?im toate bomboanele celor 4 copii.

Deci, x+1 este multiplu al lui 4. (1)

Analog, gândim c? ar fi fost suficient s? mai ad?ug?m o singur? bomboan?, pentru a reu?i s? împ?r?im toate bomboanele la 7 copii.

Deci, x+1 este multiplu al lui 7. (2)

Din rela?iile (1), (2) rezult? c? x+1 poate fi (cel pu?in) cel mai mic multiplu comun al numerelor 4 ?i 7, adic? x+1 =4x7 = 28, rezult? x = 28 - 1 = 27.

Da, solutia de mai sus este excelenta.
O mica nota:
Il invata insa pe cel ce rezolva doar sa transeze acest caz foarte particular...
Mai ales in astfel de cazuri recomand intelegerea situatiei (ceva mai) generale.
(Solutia de mai sus il invata doar sa recunoasca coincidente. Si asa e bine, dar coincidentele apar doar in conditii construite de olimpiade!)

[Citat] Problema: Rog s? se ofere o explica?ie mai simpl?, de nivelul clasei a 8-a, iar dac? se poate s? îmi explica?i v? rog cum s? transpun o problem? practic? în ecua?ie, pentru c? am auzit c? asta conteaz? mult la examenul de admitere la liceu. Ziua bun?

Not?m num?rul bomboanelor cu

Transpunem enun?ul în urm?toarele rela?ii :

În rela?ia (*) se reg?se?te ?i

= 55, care rezolv?

(f?r? verificare !) subpunctul a)

Eu as zice cam asa:
Fie x numarul bomboanelor.
Facem impartirea bomboanelor si avem:

Avem:

.
Asta inseamna ca

este multiplu comun al numerelor 4 si 7,deci este un multiplu al celui mai mic multiplu comun al numerelor 4 si 7 ,acesta fiind 28.
Prin urmare

.
Daca

atunci

(raspunsul la punctul a),rezultat ce se putea obtine prin impartire directa)
pentru b) vom avea

adica cel mai mic numar de bomboane este solutia ecuatiei

adica

.