[Citat]
[equation ]\[\text{Sa se determine functiile continue }f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\text{ care verifica egalitatea }f\left( x \right)\cdot f\left( \frac{x}{2} \right)={{2}^{x}};\forall x\in \mathbb{R}\][/equation]
[equation ]\[\text{Pot observa ca pentru x=0 avem }f(x)=\pm 1\][/equation] |
Pe aceasta pagina [equation ] inseamna doar "inceput de LaTeX".
Cele de mai sus NU SUNT CEVA UMAN.
Nu ne dam in orice caz drumul la o ecuatie intre \[ ... \] -uri, pentru ca inauntru sa intram in text. (Textul apare pe aceasta pagina relativ inchis la culoare, iar matematica ceva mai strident.)
De preferat este:
[equation ]
Sa se determine functiile continue $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$
care verifica egalitatea
\[
f(x)\cdot f\left( \frac x2 \right) = 2^x
\]
pentru orice $x\in \mathbb{R}$ .
[/equation]
si asa mai departe. Cele de mai sus ne dau (aici, compilat si aratata pe pagina, nu pe o pagina aiurea care candva nu va mai exista sau va bloca accesul)
Castigul?
De aici pot scrie uman mai departe.
Urasc parantezele puse degeaba si textul formatat pentru un robot!
Este asta o pagina de robotica?
Este chiar asa de greu de tiparit in LaTeX?
Nivelul LaTeX-ului pe care se pare ca ma indaratnicesc sa-l cer este in orice caz mult sub nivelul de inteligenta al problemei propuse.
Am intrebat explicit daca functia se poate anula undeva, pentru a vedea ca nu si pentru a decide ce semn poate avea. Ambele. Bun, ne reducem fara a restrange generalitatea (din cauza continuitatii) la doar un semn, eventual schimband f cu -f . (La sfarsit trebuie sa ne amintim de acest lucru.)
Sa zicem deci ca f > 0 pe tot domeniul de definitie.
Logaritmam in baza doi si notam cu g functia "logaritm in baza doi din f".
Ce ecuatie satisface g?
Fixam x.
Folosind ideea de mai sus de a face rost de relatii ce au de-a face cu g(x), g(x/2), g(x/4), ... si pomenita valoare posibila a lui f (resp g acum) in punctul limita al sirului x, x/2, x/4, ... si continuitatea lui f (si respectiv a lui g acum) cum putem pune mana pe functie?
Access general
Conţine mesaje necitite
