Buna seara!
Dupa cum se stie,celebra formula pentru calcularea sumei primelor n termeni dintr-o progresie aritmetica este

.
Intrebarea mea este.. Cum se poate demonstra aceasta formula folosind proprietatile unei progresii aritmetice ? Sau altfel ?
E doar o simpla curiozitate :D.

De curiozitate: a?i consultat un manual de matematic??

Dac? nu, http://en.wikipedia.org/wiki/Arithmetic_progression#Sum

Nu,nu am consultat pentru ca nu am unul la indemana.. Multumesc de link,m-am lamurit acolo..Peste tot unde cautai gasi doar formula,fara explicatie.O sa acord mai multa atentie wikipediei, pe viitor .

[Citat] Buna seara! Dupa cum se stie,celebra formula pentru calcularea sumei primelor n termeni dintr-o progresie aritmetica este . Intrebarea mea este.. Cum se poate demonstra aceasta formula folosind proprietatile unei progresii aritmetice ? Sau altfel ? E doar o simpla curiozitate :D.

Deoarece e mai mult de o simpla curiozitate si se vede clar dorinta de intelegere, o sa incerc sa scriu cateva propozitii.
(Avertisment: Eu cand ma apuc sa scriu nu ma termin usor.)

Bun. Eu o sa aleg forma pentru "primii" n termeni ai unei progresii aritmetice in modul urmator:

a + r -> termenul indexat cu 1,
a + 2r -> termenul indexat cu 2,
a + 3r -> termenul indexat cu 3,
:
:
a + nr -> termenul indexat cu n, n numar natural de la 1 incolo.

Sa adunam termenii de mai sus.
Dam de

na + (1+2+...+n)r

si acum avem o mica problema, cea de a calcula 1+2+...+n printr-o "formula inchisa". (Traduc asa ceea ce se numeste "closed formula" sau "geschlossene formel" in alte limbi.)

Ideea este in acest caz simpla si accesibila. Calculam mai usor dublul.
Vrem deci sa stim ceva fara "puncte-puncte" despre
2 (1+2+...+n) .
(Si in enunt aparea undeva un numitor doi...)

Ei bine,

2 (1+2+...+n)
=
(1+2+...+n) + (1+2+...+n)
=
(1+2+...+(n-1)+n) + (n+(n-1)+...+2+1)
=
(1+n) + (2+(n-1)) + ... + ((n-1)+2) + (n+1)
=
(n+1) + (n+1) + ... + (n+1) + (n+1) loc in care adunam de n ori (n+1)
=
n(n+1).

Bun.
Inseamna ca

na + (1+2+...+n)r

este

na + n(n+1) r / 2 .

Putem da un n factor comun. Ne uitam la ceea ce trebuie demonstrat si lucrurile se termina repede.


Bine, mie imi place sa povestesc, asa ca o sa mai scriu cateva propozitii.
Formula data este o formula care se scrie pentru progresii aritmetice.
O progresie aritmetica este data daca stim a-ul si r-l de mai sus. (De exemplu.)

Ne uitam atunci la formula data si incercam sa ii vedem dependenta de acesti "atomi" ai structurii, a si r. Ei bine, o prima observatie esentiala este faptul ca avem ceva liniar in a si r. (Polinom homogen de gradul 1 in a si r. Coeficientii sunt mai urati, au ceva de-a face poate cu n, nu ne intereseaza aici.)

"Ceva liniar" inseamna ca atat membrul stang cat si membrul drept reprezinta un polinom liniar homogen in a si r. Daca intelegem aceste lucruri, inseamna ca in fiecare membru avem de-a face cu o expresie de forma

(ceva) a + (altceva) r .

Ei bine, vrem sa izolam pentru o demonstratie "sofisticata structural" coeficientii in a respectiv r de pe ambele parti.
Cum facem asta?
Studiem pur si simplu cele doua cazuri speciale:

a=0 si r=1
a=1 si r=0 .

Inseamna ca am inteles / demonstrat formula, daca am facut acest lucru pentru

1,2,3,...,n si
1,1,1,...,1

Sper ca e clar ca trebuie pana la urma sa intelegem doar 1+2+...+n = ? .

Da,cat se poate de clar! Multumesc !

Putem judeca si asa:

. Scriu suma si asa:

.
Adun relatiile ,tin cont ca in orice progresie aritmetica suma termenilor egal departati de capete este aceeasi si avem:

,deci