Sa se rezolve ecuatia:

eu n-am decat o solutie muncitoreasca rau...

[Citat] Sa se rezolve ecuatia: eu n-am decat o solutie muncitoreasca rau...

Banuiesc ca x se cauta in numere reale.
Incerc sa rezolv povestit intai cu aceasta informatie in plus.

Prima solutie.
Rescriem ecuatia sub forma

Ecuatia este atunci echivalenta cu faptul ca membrul stang este numar real.
Ajunge deci sa extragem radacina complexa de ordinul patru din 1+2i, dam de patru numere complexe de forma a+bi, a,b reale, le "normam" la ceva de forma

a( 1+(b/a)i )

iar ceea ce sta pe locul lui (b/a) este bun de solutie pentru x.

A doua solutie.
x este real. Nu imi place ce vad in x, asa ca introduc substitutia naturala
x = tan(u) = sin(u) / cos(u) .

Numarul 1+2i este foarte cunoscut, asa ca il facem putin mai necunoscut, sa zicem ca stim care este forma lui trigonometrica, ceva de forma
1+2i = r( cos(a) + i sin(a) ) .

Ecuatia data se transforma repede in ceva mai usor de apucat,
cos(8u) + i sin(8u) = cos(2a) + i sin(2a) .

Avem desigur 8 solutii in [ 0, 2pi ) de exemplu,
dar pe noi ne intereseaza doar cele patru dintr-o perioada a tangentei.

Solutia in numere complexe...
Ecuatia data se rescrie repede ca o ecuatie de gradul patru in x.
Deci ne asteptam sa dam de cel mult solutii.

Avem deja patru solutii, dupa ce le-am cautat si gasit in numere reale. Gata.

Solutia cu calculatorul, folosesc sage.

sage: i^2
-1
sage: eq = ( (1+i*x) / (1-i*x) )^4 == (1+2*i)/(1-2*i)
sage: solutii = solve( eq, x )
sage: for sol in solutii: print sol
....:
x == -1/2*sqrt(sqrt(5) + 5)*sqrt(2) - 1/2*sqrt(5) - 1/2
x == 1/2*sqrt(sqrt(5) + 5)*sqrt(2) - 1/2*sqrt(5) - 1/2
x == -1/2*sqrt(-sqrt(5) + 5)*sqrt(2) + 1/2*sqrt(5) - 1/2
x == 1/2*sqrt(-sqrt(5) + 5)*sqrt(2) + 1/2*sqrt(5) - 1/2


Da, daca vrem sa avem numerele in mana trebuie sa ne facem mainile murdare in calcul...

Am gasit si solutia explicita si simpla
(din punctul de vedere calculatoriu)
facuta cu mana.

Asa cum s-a vazut mai sus, facem substitutia x = tan(u) si incercam sa facem rost de x cumva stiind ca tan(4u) = tan(a) = 2/1 = 2, unde a este argumentul numarului complex 1+2i .

Trebuie sa rezolvam de doua ori cate o ecuatie de gradul 2.
Rezolvam mai intai ecuatia in v=tan( ? )
pentru care tan( 2? ) = 2, deci 2v / (1-vv) = 2, deci vv+v-1 = 0,
de aici dam de doua solutii si de acel radical din cinci care ne va insoti destul de des de acum incolo. Pentru fiecare dintre cele doua solutii v1 si v2 rezolvam aceasi afacere ca si mai sus, numai ca in loc de 2 luam v1 respectiv v2.

Ecuatiile

2x / (1-xx) = v1 si respectiv
2x / (1-xx) = v2

sunt de gradul doi si conduc la solutii explicite.
Sper ca la cele de mai sus.