[Citat]
Ar?ta?i c?
nu e întreg închis  , adic? nu toate elementele din el satisfac o ecua?ie polinomial? monic?, din
.
Presupun c? e ceva special legat de 3, fiind singurul inversabil, dar nu m? pot prinde.
Mul?umesc. |
Acel adica de mai sus nu este chiar bine plasat.
Si propozitia intreaga de felul ei nu are sensul uzual din geometria algebrica (sau mai exact din teoria inelelor comutative).
Definitia standard este aici:
http://en.wikipedia.org/wiki/Integrally_closed
In sensul acestei definitii, probabil ca problema de care trebuie sa ne legam este:
Sa se arate ca inelul R=
nu este intreg inchis in S = R[X] .
Pentru a arata acest lucru, trebuie sa gasim un polinom monic in inelul de noua variabila Y peste S, deci un f din R[Y] care este definit cum se vede peste R si care are radacini in S care nu sunt in R. (No, cel putin una acolo.)
Notez elementele lui R cu 0,1,2,3. La facultate nu mai e nevoie de caciuli.
(Unitatea unui inel se noteaza in general cu 1. Inelul R este in particular ZZ-modul, deci ZZ-algebra, deci avem o inmultire cu scalarii lui ZZ, deci putem sa scriem ceva de forma 2 . 1 , lucru pe care toata lumea il noteaza cu 2, acesta fiind abuzul de notatie general legat de morfismul structural al unei algebre... Nu avem probleme daca specificam mereu unde sunt elementele.)
Ne uitam la polinomul
s = r + 2X.P(X)
din S = R[X],
unde r este un element fixat din R si unde P este un polinom din S.
ei bine, ss - rr = (s+r)(s-r) = 2(...) . 2(...) = 0 in S,
deci s este radacina a polinomului monic YY-rr din S[Y].
Desigur ca putem lua P-ul in multe moduri de asa natura, incat s-ul corespunzator sa nu fie in R.
Am dat de o droaie de contaexemple.
Numarul de radacini din S ale polinomului YY - rr este...
Asa ne trebuie daca ne legam de inele de polinoame peste inele cu divizori ai lui zero...
Nota:
Denumirea "(inel) intreg inchis (intr-un inel)" este naturala daca ne plasam in cadrul teoriei inelelor comutative.
De exemplu, ZZ, inelul intregilor este intreg inchis in QQ, inelul numerelor rationale. (Lema lui Gauss.) De aici si denumirea.
In teoria numerelor in general se procedeaza asa:
- se pleaca cu QQ .
- folosind teoria corpurilor (algebrice, finit generate peste QQ) stim cam cum arata toate corpurile de numere, macar stim sa ne jucam cateva jocuri simple cu ele. Fie F un astfel de corp de numere. (Extensie (algebrica) finita a lui QQ.)
- tot asa cum sta ZZ in QQ, ne legam de O(F) in F, inelul elementelor din F care sunt radacini ale unui polinom monic cu coeficienti intregi din F.
- ei bine, O(F) este un inel intreg inchis in F. Elementele lui O(F) se numesc "intregii lui F".
Nota:
De obicei notiunea de inel "intreg inchis" FARA referire la un inel ambiant de referinta nu se defineste pentru inele patologice, de exemplu pentru inele cu divizori ai lui 0.
Daca problema a fost pusa chiar asa in curs,
care este definitia din curs care trebuie s-o folosim pentru rezolvarea problemei?
(Nu inteleg de ce se definiesc mereu in cursuri de faculatate lucruri impotriva curentului universal...)
Haide?i s? mai "povestesc" un pic.
Access general
Conţine mesaje necitite
