[Citat]
"Se dau 2 sfere tangente cu aceea?i raz? R = 3 cm a?ezate pe planul orizontal ?i un con circular drept cu baza in acela?i plan orizontal ?i tangent la cele dou? sfere date.
Dimensiunile conului sunt: raza bazei R = 3 cm ?i în?l?imea lui H = 10 cm.
S? se a?eze intre con ?i cele dou? sfere o sfer? tangent? la ele cu raza R = 3 cm.
Problema se va rezolva in plan ?i vedere.
Se vor p?stra liniile de construc?ie ?i se vor desena cu linie întrerupt? liniile ascunse."
Aceasta este problema trimisa de o cunostinta.
Va rog sa-mi spuneti cum as putea identifica punctele de tangenta dintre corpurile tangente pentru a realiza desenul.
Multumesc.
Problema a fost data la un examen in 2006.Detalii http://www.uauim.ro/admitere/retrospectiva/2006/
|
Incerc sa scriu cateva randuri intr-o pauza la serviciu.
In primul rand problema nu este / pare a fi o problema de matematica, ci mai degraba una de geometrie descriptiva. In geometria descriptiva un obiect (in 2D sau 3D) este cunoscut daca "i se pot construi punctele de reper principale",
pentru un segment trebuie sa ii putem construi extremitatile,
pentru un cerc centrul si raza,
pentru o elipsa focarele si unul din cele patru puncte de intersectie cu axele principale (de simetrie),
pentru o sfera centrul (din doua proiectii) si raza, etc.
Accentul cade pe contructia vederilor din fata, lateral si sus si repetarea acestor constructii paralel in toate vederile.
In matematica, determinarea punctelor este deseori imposibila (in numere rationale sau prin constructii cu rigla si compasul), daca este posibila calculele sunt insurmontabile.
Eu am vrut sa dau candva la facultatea de arhitectura, am renuntat candva destul de pragmatic, era nevoie de prea multa tehnica nedescrisa in carti standard, mai degraba se pretau meditatiile cu oameni alesi. Si asa cele cam 20 de locuri pe an (pentru studentii romani) erau deja aproape date.
Sa vedem acum ce putem face la problema.
O sa iau doar fatete ale problemei.
Ca sa-mi fie mai usor sa incep sa explic fara desen, ma leg de vederea din avion mai intai. Cele doua sfere se vad din avion ca doua cercuri tangente de raza trei. Le desenam si gata. Acum vrem sa bagam conul la incalzit "in ele".
Nu stim unde... Hm, ne uitam la perspectiva "din fata". Avem de asemenea doua cercuri tangente intre ele si tangente la "planul" Oxy care din fata degenereaza intr-o dreapta. Dam la o parte una din sfere mental pe o noua plansa. Asezam conul. Trebuie sa vedem la ce inaltime sunt tangente
- sfera de raza R tangenta la dreapta "Oxy"
- triunghiul cu baza 2R si inaltimea h = ...
Ceea ce in matematica revine la a gasi punctul de pe cerc cu tangenta (la cerc) cu panta 10/3, in geometria descriptiva este ceva foarte simplu. Se deseneaza cercul si triunghiul la ceva distanta, se duce paralela la (generatoarea conului ~ ) latura triunghiului care este tangenta la cerc (ducand mai intai perpendiculara din centrul cercului pe aceasta latura, vazand unde intersecteaza cercul...)
In acest mod stim la ce inaltime sunt tangente conul si sfera / sferele.
Prin ducerea razei paralele cu "Oxy"-ul degenerat putem vedea unde taie ea axa de simetrie a triunghiului / conului. Sa copiem undeva distanta asta, pe care eu o notez cu a.
Revenim la cele doua sfere vazute de sus.
Ceea ce vedem este situatia din planul prin cele doua centre ale sferelor.
Trebuie sa le numesc cumva, o sa le spun O(S1) si O(S2).
De la O(S1) la O(S2) avem distanta 2R.
Notam mijlocul ... cu O si il plasam poate in mijlocul plansei.
Ducem mediatoarea segmentului dintre centre. Ea trece prin O.
Pe ea luam unul din punctele la distanta a de centrele O(S1) si O(S2).
Il notam cu A.
Aici este locul de unde se vede de sus varful conului.
Cu linie punctata sau nu sau doar in parte (dupa cum schitam doar ce se vede) trebuie duse cercul cu centrul in A si raza R, baza conului.
Unii mai duc punctat si intersectia planului O(S1) O(S2) A cu conul, este un cerc de centru O. (Care nu este tangent la cele doua cercuri...)
Sper ca este clar ca putem construi acum usor vederea figurilor din fata, lateral, avion. Putem calcula toate punctele cu coordinate cu tot. Cand ajung acasa o sa le scriu.
Mai ramane ultima sfera. Sa zicem ca centrul ei este C(x,y,z).
Din puncte de vedere matematic putem scrie ecuatii in x,y,z pe care sa incercam sa le rezolvam. Pe asa ceva nu ni se da nici un punct in geometria descriptiva.
Trebuie sa "facem o constructie" care sa ne localizeze C-ul.
Din considerente de simetrie stim ca in vederea din avion C-ul se afla in
ceea ce se vede din planul tangent la cele doua sfere in punctul lor de tangenta. Trebuie doar sa vedem la ce inaltime....
Foarte simplu! (In geometria descriptiva)
Ne uitam la generatoarea conului din planul de simetrie aflata "spre sfere".
Ducem o paralela la ea la distanta R (Raza ultimei sfere)... centrul C se afla pe aceasta generatoare...
ramanem sa vedem la ce inaltime...
Izolam una din sfere si aceasta generatoare...
Desemam sfera de raza dubla cu acelasi centru. (Homotetie, C-ul se afla pe aceasta sfera.) Am redus problema la o problema standard din geometria descriptiva...
Access general
Conţine mesaje necitite
