x(la puterea a 3a)- 2mx(x la puterea a 2a)+x+3=0

Multumesc!

Ce se da si ce se cere? (Cine este m? Ce vrea problema de la noi?)
Multumesc!

Sa se discute,dupa valorile parametrului real m,numarul radacinilor reale

EDITARE TARZIE:
Solutia pe care am avut-o in vedere cand am tiparit cele de mai sus corespundea celor introduse in computer...

sage: var( 'm' )
m
sage: var( 'm' );
sage: f(x) = x^3 -2*m*x^2 +x +3
sage: g = diff(f,x)
sage: g(x)
-4*m*x + 3*x^2 + 1
sage:
sage: a = ( 2*m - sqrt( 4*m^2 -3 ) ) / 3
sage: b = ( 2*m + sqrt( 4*m^2 -3 ) ) / 3
sage:
sage: ( f(a)*f(b) ) . expand() . factor()
-1/27*(8*m - 13)*(12*m^2 + 20*m + 19)

Cele de mai sus revin uman la ceva foarte complicat de calculat, dar calculatorul nu are probleme. Cu cele de mai sus putem usor vedea cate schimbari de semn avem in sirul lui Rolle asociat lui f.

Fara a face apel la sirul lui Rolle putem argumenta si asa.
Sa zicem ca g = f' are doua radacini reale diferite, a si b mai sus.
Atunci

f este strict crescatoare de la -oo in -oo la f(a) in a,

f este strict descrescatoare de la f(a) in a la f(b) in b,

f este strict crescatoare de la f(b) in b la +oo in +oo .

In particular avem a < b (prin alegerea semnului -/+) si f(a) > f(b) .

Avem atunci 3 radacini reale pentru f daca si numai daca intre a si b are loc o schimbare de semn, deci daca si numai daca f(a) f(b) < 0 .
Sirul lui Rolle asociat lui f pentru intreaga axa reala ne obliga sa ne uitam la acelasi produs f(a) f(b) .

Cu calculatorul am vazut mai sus ca f(a)f(b) este o expresie polinomiala de grad III in m, ea se factorizeaza, factorul care da semnul este -(8m-13) .

Nota:
Deoarece gandirea mea este indoctrinata algebric, nu am avut nici o sansa sa izolez dependenta de m intr-o functie asemanatoare cu o singularitate introdusa in 0, neplacere corectata usor daca spargem intervalul real in doua bucati ca in solutia eleganta de mai jos.

Chiar mai rau, am calculat pentru a ma convinge ca lucrurile stau bine si discriminantul ecuatiei de gradul III date...
http://en.wikipedia.org/wiki/Discriminant
Pentru tiparit mai modest m-am legat mai intai de polinomul translatat cu 2m/3...

sage: h(m,x) = x^3 -2*m*x^2 +x +3
sage: h(m, x+2*m/3).expand()
-16/27*m^3 - 4/3*m^2*x + x^3 + 2/3*m + x + 3
sage: p = 1-4/3*m^2 # coeficientul in x
sage: q = -16/27*m^3 + 2/3*m + 3 # coeficientul liber (de x)
sage:
sage: factor( -4*p^3 -27*q^2 )
(8*m - 13)*(12*m^2 + 20*m + 19)


Discriminantul este produsul patratelor de diferente de cate doua radacini.
(Ca si in cazul unui polinom de grad II.)
Pentru un polinom de grad III cu coeficienti REALI
- discriminantul este nul, daca cel putin doua radacini coincid, toate radacinile sunt atunci reale,
- discriminantul este >0, daca radacinile sunt reale diferite
- discriminantul este <0, daca radacinile sunt diferite, una este reala celelalte complex conjugate, nereale.

Putem reduce calculele transformând ecua?ia astfel încât la derivare s? dispar? parametrul.

[Citat]

Despre care teorema a lui Rolle e vorba?

[Citat] Despre care teorema a lui Rolle e vorba?

Nu e Rolle, e proprietatea lui Darboux. Mai de mult am f?cut ?i eu observa?ia asta, dar Gauss nu vrea s? o ia în considerare

[Citat] Nu e Rolle, e proprietatea lui Darboux. Mai de mult am f?cut ?i eu observa?ia asta, dar Gauss nu vrea s? o ia în considerare

Multumesc mult, cer scuze, de acum incolo e luata in considerare!