Rezolvati sistemul:{ x^2+2yz=ax
y^2+2zx=ay unde a este un parametru dat.
z^2+2xy=az

[Citat] Rezolvati sistemul:{ x^2+2yz=ax y^2+2zx=ay unde a este un parametru dat. z^2+2xy=az

"( Scade din ec 1 , ec 2 .

Da pe (x-y) factor comun.

Poti avea ;x-y=0 sau x=y si 1]. x+y-2z=a .

Scazand din ec 2 , scazand ec 3, avem factor (y-z)=0 sau;

y=z cat si 2[. y+z-2x=a .

Scazand din 1]. pe 2]. vom obtine x=z=y .


Folosind aceste relatii , in prima ec vom avea : 3.x^2=a.x .

Pentru a,=0 ->x=0=y=z si pentru a>0

-> x'=0=y'=z' si x"=a/3=y"=z" )"

Din pacate nu inteleg solutia de mai sus.
Strategia de rezolvare nu este deloc clara.

Am dat drumul la computer, care livreaza fara mila 8 solutii, asa cum ma si astept de la un sistem de trei ecuatii, fiecare de grad 2, deoarece in conformitate cu teorema lui Bezout avem 2x2x2 solutii.
(Excetand cazul in care anumite ecuatii au o dependenta algebrica de celelalte.)

Code sagemath. Cele opt solutii sunt in cazul "a generic":


var( 'a,x,y,z' );
eqX = ( x^2+2*y*z == a*x );
eqY = ( y^2+2*z*x == a*y );
eqZ = ( z^2+2*x*y == a*z );
for solutie in solve( [ eqX, eqY, eqZ ] , x,y,z ): print solutie

....:
[x == -1/3*a, y == -1/3*a, z == 2/3*a]
[x == 1/3*a, y == 1/3*a, z == 1/3*a]
[x == 2/3*a, y == -1/3*a, z == -1/3*a]
[x == -1/3*a, y == 2/3*a, z == -1/3*a]
[x == 0, y == a, z == 0]
[x == 0, y == 0, z == a]
[x == a, y == 0, z == 0]
[x == 0, y == 0, z == 0]


In solutia de mai sus imi lipsesc cateva solutii.
In orice caz, pot folosi manipularile algebrice indicate pentru a face repede rost de o solutie completa, prezentata mai organizat:

Solutia poate fi prescurtata.
Intelegerea nu poate fi insa prescurtata.
Incercarea de a evita metoda vietnameza de enumerarea a cazurilor poate usor aduce depunctarea in concurs...