Ar?ta?i c? a ?ti suma valorilor proprii ale unui endomorfism

este echivalent cu a ?ti o sum? de puteri k ale valorilor proprii:

.

Mul?umesc.

Din pacate problema nu este formulata in mod matematic strict formal,
ea nu are sens, luata la bani marunti,
asa ca o sa scriu doar comentarii.
Problema cu formularea este faptul ca acel k pica din nori in mijlocul lucrului de aratat.

Cine este k?
Pentru orice k are loc sau se cere ceva?
Doar pentru un k, de exemplu pentru k=1? Sau pentru k=2?

O sa scriu cateva lucruri...
Este adevarata propozitia de mai sus in care nu pomenim deloc de k, il inlocuim cu 1.

Este falsa daca luam endomorfismul peste un spatiu vectorial de dimensiune unu,
atunci endomorfismul este (functia liniara de inmultire cu) un numar, sa il notam cu a, problema sugereaza ca il stim pe a daca il stim pe a^k (si pe k).
Mai greu daca a este real si k este par.
Mai greu daca a este complex si k este (numar natural) >1 .


Daca il inlocuim cu 2, propozitia este falsa, daca o reformulam in modul urmator:

Fie A un endomorfism al spatiului vectorial V de dimensiune N.
Fie l,m,... valorile proprii ale lui A, i.e. radacinile polinomului caracteristic... Problema se reformuleaza atunci imediat in termenii polinoamelor, dar de ce sa mai luam polinoame, daca putem reduce problema la un tuplet de N numere (complexe sau dintr-un corp de care nu stim inca nimic).

Se da un tuplet de N numere.
Problema este de forma:

Fixam un k numar natural.
Putem reconstrui suma numerelor din tuplet,
stiind suma puterilor de ordinul k ale numerelor din tuplet?

Desigur ca nu.
l+m nu se poate afla din
ll + mm
daca nu stim nimic despre 2lm si despre semnul lui l+m in cazul real.

In sfarsit, problema ar putea fi adevarata peste corpuri de caracteristica speciala, daca il alegem corespunzator pe k.

Care este sursa problemei, care este ocazia cu care a aparut?

[Citat] Care este sursa problemei, care este ocazia cu care a aparut?

Problema a ap?rut la un curs de reprezent?ri liniare de grupuri finite. Lucr?m cu spa?ii vectoriale complexe.

Din cîte am în?eles, solu?ia se leag? strîns de identit??ile lui Newton http://en.wikipedia.org/wiki/Newton's_identities, polinoame simetrice ?i rela?iile lui Viete, toate aplicate pentru polinomul caracteristic al matricei (reprezent?rii).

Dar nu e tocmai punctul meu forte, a?a c? am apelat aici pentru o clarificare.

Atunci enuntul problemei nu este deloc bine gasit.
Acel k imi da dureri de cap cat cuprinde.

Poate ca un mod mai bun de intelegere al (esentei) problemei este urmatorul:
Daca lucram peste numere rationale (vreau eu sa clarific din start ca nu ne legam de caracteristici ciudate),
atunci
polinoamele simetrice elementare

E1(a,b,c,...) = a+b+c+...
E2(a,b,c,...) = ab+bc+ca+...
E3(a,b,c,...) = abc+...
:
:
sunt o "baza" a polinoamelor simetrice de un numar infinit de necunoscute.
Daca avem doar n necunoscute, le facem pe celelalte 0 si ne uitam numai la primele n polinoame simetrice astfel obtinute.

Ei bine, o alta baza de asemenea importanta este cea a polinoamelor Newton,
de fiecare data avem suma de n monoame homogene de grad k, k se plimba de asemenea de la 1 la n.
N1(a,b,c,...) = a+b+c+..
N2(a,b,c,...) = a^2+b^2+c^2+..
:
:
Nn(a,b,c,...) = a^n+b^n+c^n+..

Ele se exprima unele in functie de altele.
Problema poate fi formulata astfel.

Fie A un endomorfism al unui spatiu vectorial V peste numerele rationale (sau peste o extensie a lor) de dimensiune n.
Atunci sunt echivalente urmatoarele "dari":

- a da valorile proprii ale lui A
- a da polinomul caracteristic al lui A
- a da coeficientii polinomului caracteristic al lui A
- a da urmele endomorfismelor A, AA, ... , A^n .

Echivalenta ultimelor dari vine din posibilitatea exprimarii reciproce a polinoamelor simetrice elementare in functie de polinoamele (simetrice) Newton.

[Citat] Fie A un endomorfism al unui spatiu vectorial V peste numerele rationale (sau peste o extensie a lor) de dimensiune n. Atunci sunt echivalente urmatoarele "dari": - a da valorile proprii ale lui A - a da polinomul caracteristic al lui A - a da coeficientii polinomului caracteristic al lui A - a da urmele endomorfismelor A, AA, ... , A^n . Echivalenta ultimelor dari vine din posibilitatea exprimarii reciproce a polinoamelor simetrice elementare in functie de polinoamele (simetrice) Newton.

Deci problema se reduce la a g?si/demonstra rela?ia dintre polinoamele simetrice elementare ?i cele Newton, nu?