Consideram un triunghi ABC cu m(A)= 90 de grade.,AB =15 cm si AC=20 cm.Fie DA_|_(ABC),DA=5 cm. Calculati distanta de la punctul A la planul (DBC)



2.Daca c si r sunt catul si restul impartirii lui 127 la 14,atunci c+r=...

Doua probleme fara nici o legatura.

[Citat] 1. Consideram un triunghi ABC cu m(A)= 90 de grade. Se dau lungimile AB = 15 cm si AC = 20 cm. Fie DA perpendiculara pe planul triunghiului (ABC), DA = 5 cm. Calculati distanta de la punctul A la planul (DBC)

Plan:
1 - calculam BC
2 - ducem inaltimea AA' in ABC, A' pe BC
3 - calculam AA'
4 - calculam DA'
5 - calculam volumul lui DABC in doua moduri.


1. Triunghiul dreptunghic ABC are catetele date de 15 cm, 20 cm,
deci ipotenuza este din teorema lui Pitagora de lungime 25 cm.
(Avem de-a face cu proportia 15 : 20 : 25 = 3 : 4 : 5, triunghiul dreptunghic cu laturile 3,4,5 (de cm) trebuie cunoscut.)

2+3. Sa ducem inaltimea AA' in triunghiul ABC, A' pe BC.
Atunci calculand aria lui ABC in doua moduri dam de egalitatea
AA' . BC = AB . AC .

De aici gasim lungimea lui AA',
AA' = 15 x 20 / 25 cm = 3x4 cm = 12 cm .

4. DA este perpendiculara pe planul (ABC),
deci si pe AA'.
Deci triunghiul DAA' este dreptunghic in A.
Ipotenuza DA' are lungimea de 13 cm, Pitagora. (Stim catetele de 5cm si 12 cm.)

5. Din teorema celor trei perpendiculare,
avand
DA perpendiculara pe planul (ABC),
AA' perpendiculara pe BC,
rezulta ca DA' este perpendiculara pe BC.

Volumul tetraedrului DABC se poate calcula in doua moduri:
- in primul rand ca
(o treime din) (aria ABC) (lungimea inaltimii DA corespunzatoare).

- in al doilea rand ca
(o treime din) (aria DBC) (lungimea inaltimii A? corespunzatoare).

Aici am notat cu ? proiectia lui A pe planul DAC.
Problema ne cere aceasta (lungime a inaltimii A? corespunzatoare) .

Ariile celor doua triunghiuri ABC si DBC se calculeaza usor.

Care este deci solutia?

Nota: Solutia de clasa a XI-a (sau a IX-a, sau de facultate in cel mai rau caz).
Geometria analitica in spatiu ne ajuta sa calculam din prima aceasta distanta.
Plasam punctele date in spatiul cartezian in urmatoarele locuri
A(0,0,0)
B(15,0,0)
C(0,20,0)
D(0,0,5)
Atunci ecuatia planului DBC este:
4x + 3y + 12z - 60 = 0 .

Distanta de la (0,0,0) la plan este atunci data de valoarea absoluta a fractiei

(Pentru a intelege formula, trebuie sa ne gandim / sa stim ca (4,3,12) este un vector perpendicular pe planul ABC. El trebuie normat la lungime unu, de aceea impartim cu numitorul, care calculat este 3.
De aici mai trebuie vazut cum se calculeaza distanta folosind produsul scalar...

[Citat] 2. Daca c si r sunt catul si restul impartirii lui 127 la 14, atunci c+r=...

14 intra in 127 de 9 ori,
14 x 9 = 126,
deci catul impartirii cu rest a lui 127 la 14 este 9, restul este 127-126 = 1.

Suma ceruta nu are nici un sens, dar se poate calcula,
9+1 = 10 .