1. Determinati toate nr abc cu bara pt care : abc cu bara -a+b-c este patrat perfect.
2.Determinati nr naturale k si ab cu bara daca nr, ab cu bara, ba cu bara, si ab fara bara sunt direct proportionale cu 4,7 si respectiv k.

Prescurtarea nr pentru numar NU este de dorit. In definitiv, eu raspund cu cuvinte intregi. Ati castigat astfel cateva secunde, ati pierdut din partea cu estetica si cu limba romana. (Nu suntem pagina de jurnalistica, suntem pagina in limba romana, a nu se confunda cu SMS sau chat-room.

Si lasati va rog locuri goale dupa semnele de punctuatie.

[Citat] 1. Determinati toate numerele ___ abc pentru care ___ abc -a +b -c este patrat perfect. 2. Determinati numerele naturale k si __ ab stiind ca __ ab , __ ba si ab sunt direct proportionale cu 4, 7 si respectiv k.

Ce ati incercat pentru fiecare din cele doua probleme?

1. Se scrie desigur in primul rand
___
abc = 100a + 10b + c .

Problema ne da faptul ca (100a + 10b + c) -a +b -c = 99a + 11b = 11(9a+b) este un patrat perfect. In particular, 9a+b este divizibil cu 11. Cautam toate cazurile posibile. In plus, trebuie sa verificam de fiecare data ca dam de un patrat perfect, vom verifica acest lucru luand (9a+b)/11 si verificand (da)ca este patrat perfect.

Daca a=1, 9a+b = 9+b, singura cifra b care ne conduce la un multiplu de 11 este b=2. Atunci (9+2)/11 este 1, patrat perfect. Solutie.

Daca a=2, 9a+b = 18+b, singura cifra b care ne conduce la un multiplu de 11 este b=4. Atunci (18+4)/11 este 2, care nu este patrat perfect. Respingem.

Daca a=3, 9a+b = 27+b, singura cifra b care ne conduce la un multiplu de 11 este b=6. Atunci (27+6)/11 este 3, care nu este patrat perfect. Respingem.

Daca a=4, 9a+b = 36+b, singura cifra b care ne conduce la un multiplu de 11 este b=8. Atunci (36+8)/11 este 4, patrat perfect. Solutie.

Daca a=5, 9a+b = 45+b, urmatorul multiplu de 11 este 55, nu ne ajunge drumul cu o cifra b.

Nu mai continui in modul vietnamez de apucat problema. (Este insa o metoda excelenta de invatat si inteles matematica in multe cazuri.)

Sper ca este clar ca urmatorul multiplu de 11 de forma
11 (patrat perfect) este 99 .
Putem ajunge la 99 prin ceva de forma (9a+b) cu cifre a,b ? Nu, putem ajunge cel mult la 9x9+9 = 90. Deci nu mai apar solutii.

Trebuie acum doar puse cap la cap cele de mai sus. Dau solutiile cu cod independent pe calculator, codul ia cele cateva cazuri in parte...


sage: for abc in [ 100 .. 999 ]:
....: c,b,a = abc.digits()
....: if is_square( abc - a + b - c ):
....: print "Solutie: ", abc
....:
Solutie: 120
Solutie: 121
Solutie: 122
Solutie: 123
Solutie: 124
Solutie: 125
Solutie: 126
Solutie: 127
Solutie: 128
Solutie: 129
Solutie: 480
Solutie: 481
Solutie: 482
Solutie: 483
Solutie: 484
Solutie: 485
Solutie: 486
Solutie: 487
Solutie: 488
Solutie: 489



2. In primul rand stim ca
__
ab = (10a + b) si
__
ba = (10b + a)

sunt direct proportionale cu 4, 7 .

Rescriem acest lucru intr-o ecuatie algebrica:
(10a+b) : 4 = (10b+a) : 7 , echivalent
7(10a+b) = 4(10b+a) , echivalent
70a + 7b = 40b + 4a , echivalent
66a = 33b , echivalent
2a = b .

Avem deci de luptat doar cu cateva cazuri:
a=1 si b=2 SAU
a=2 si b=4 SAU
a=3 si b=6 SAU
a=4 si b=8 .

De ficare data trebuie sa-l calculam pe k si sa vedem daca este numar natural sau nu. Prefer sa prezint lucrurile folosind calculatorul:

sage: for a in [1..9]:
....: for b in [1..9]:
....: ab = 10*a+b
....: ba = 10*b+a
....: if ab/ba == 4/7 :
....: k = 4 * (a*b) / ab
....: if k in ZZ:
....: print "Solutie: %s : %s : %s este proportia 4 : 7 : %s" % ( ab, ba, a*b, k )
....:
Solutie: 36 : 63 : 18 este proportia 4 : 7 : 2

(Nota: Codul sage folosit se vede cel mai bine dupa [Citeaza] (+renunta), deoarece in sage - ca si in python - spatiile libere conteaza, dar in acest html ele nu conteaza si mai multe sunt facute unul.)