Daca a,b,c sunt lungimile laturilor unui triunghi, demonstrati ca:

1/(a+b) + 1/(b+c) + 1/(c+a) < 5/(a+b+c)

Problema este o jumatate dintr-o inegalitate din GM.

[Citat] Fie a,b,c lungimile laturilor unui triunghi (nedegenerat). Demonstrati ca: 1/(a+b) + 1/(b+c) + 1/(c+a) < 5/(a+b+c) .

Din pacate trebuie sa dau solutia completa.
Sa incercam sa ne orientam mai intai.
Calculatorul imi da

sage: var( 'a,b,c' )
(a, b, c)
sage: E = -( 1/(a+b) + 1/(b+c) + 1/(c+a) ) + 5/(a+b+c)
sage: E.factor()
-(a^3 - a^2*b - a^2*c - a*b^2 - a*b*c - a*c^2 + b^3 - b^2*c - b*c^2 + c^3)/((b + c)*(a + c)*(a + b)*(a + b + c))
sage: E.factor().numerator()
-a^3 + a^2*b + a^2*c + a*b^2 + a*b*c + a*c^2 - b^3 + b^2*c + b*c^2 - c^3


Ultima expresie este >0 deoarece putem grupa trei termeni:
aa(b+c-a) ,
bb(c+a-b) ,
cc(a+b-c) .

Desigur ca putem conduce repede calculele de asa natura incat sa dam de acelasi numarator, sa aratam ca acesta este >0 ca mai sus apoi.

Ramane sa vedem cum putem conduce uman calculele incat sa dam de acelasi lucru.