V-as propune o problema de clasa a VI-a din Gazeta Matematica care imi da batai de cap:
Determinati toate numerele prime a, b, c, stiind ca a^2+b^2+c^2 este un numar prim, a<b<c si c-a<10.

[Citat] Determinati toate numerele prime a, b, c, stiind ca a^2+b^2+c^2 este un numar prim, a < b < c si c-a < 10 .

Prima observatie care ne scapa de unele griji este urmatoarea:
Patratul unui numar de forma 3k se divide cu 3.
Patratul unui numar de forma 3k plus/minus 1 este de forma 3(..)+1 .

Daca nici unul din numerele a,b,c nu se divide cu 3, atunci avem "modulo 3" (luand restul la impartirea cu trei)
a^2 + b^2 + c^2 se divide cu 3 .
Deoarece suma de mai sus nu este exact numarul prim 3, dam de o contradictie.
Deci unul din numerele a,b,c se divide cu 3, deci este 3.

Cazul c=3 este exclus.
Raman cateva cazuri:

a=3, caz in care b si c pot fi doar din multimea { 5,7,11 }, trei cazuri,

b=3, caz in care a este 2 si c poate fi doar din multimea { 5,7,11 }, dam de un numar par, nu e bine.

Solutiile sunt:

a=3 b=5 c=7 aa+bb+cc=83
a=3 b=7 c=11 aa+bb+cc=179

(In cazul ramas, 155 se divide cu 5, chiar daca nu adunam, divizibilitatea cu 5 se vede...)